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1、第六章微分中值定理及其应用§1.拉格朗日定理和函数的单调性1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使：（1），（2）解：（1）因为在连续，在)1,0[p可导，且，所以由Rolle定理，，使得。（2）因为，且不存在，故不存在一点，使2．证明：（1）方程（这里c为常数）在区间内不可能有两个不同的实根；证明：设，由于方程在内没有根，所以（由P.120，例1）方程在区间内不可能有两个不同的实根。（2）方程（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。证明：设，于是。当n为偶数时，n-1为奇数，故方程至多有一个实根（因为幂函数严格递增），从而方程至多有两个实根；当n为奇数时，
2、n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程至多有两个实根，从而方程当n为奇数时至多有三个实根。3．证明：若函数和均在区间上可导，且，，则在区间上和只相差一常数，即（c为某一常数）证：令，则在区间上可导，且，由推论1，存在常数c，使得，即4．证明：（1）若函数在上可导，且，则（2）若函数在上可导，且，则（3）对任意实数，都有证：因为在上可导，所以在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得（1）因为，所以，从而有（2）因为，所以（3）不妨设，正弦函数在上连续，在可导，于是，使得5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1），其中证：设，则在上连续且可导，所以在上满足Lagrange
3、中值定理的条件，于是，使得，因为，所以，从而（2），其中证：设，则在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得。因为，所以，从而。6．确定下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（4）解：（1），令，得当时，，递增；当时，，递减。（2）的定义域为。，令，得当时，，递减；当时，，递增。（3）的定义域为。，令，得当时，，递增；当时，，递减。（4）的定义域为。，故在其定义域递增。7．应用函数的单调性证明下列不等式：（1），证：设，则在连续，且。因为，，故在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。（2），证：先证，为此证明：。设，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递减，于是，从而，。其次证明：。
4、设，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。（3），证：先证：，。令，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递减，又因在连续，于是，从而，。其次证明：，。令，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。8．以记由,,三点组成的三角形面积,试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.证：因为,若在连续,在可导,则易见也在连续,在可导,且.故由罗尔定理知,存在,使得.而,故.9.设f(x)为[a,b]上二阶可导函数。f(a)=f(b)=0,并且存在一点使得f(c)>0。证明至少存在一点使得证明：对上应用拉格朗日中值定理，存在由于对上应用拉格朗日中值定
5、理，存在又因，上可导，再据拉格朗日中值定理，存在使得由此得出。10.设f(x)在(a,b)内可导，且单调。证明在内(a,b)连续.证明：不妨设内递增，从而对内任一点，在内递增且以为上界，在内递增且以为下界。据定理3.10知必存在。再据导数极限定理有，又，所以故在内连续。11.设p(x)为多项式，a为p(x)=0的r重根。证明a必定是的重实根。证明：因的r重根，故可设其中为多项式，且。所以有且因此是的r-1重实根。12.证明：设f(x)为n阶可导函数，若方程f(x)=0有n+1个相异的实根。则方程至少有一个实根。证明：设方程的n+1个相异实根为对在每个区间上应用罗尔中值定理知，存在至少有n个相异
6、实根。再对在n-1个区间上应用罗尔中值定理，存在至少有n-1个相异实根。重复以上做法知，至少有n-2个相异实根，…至少有1个实根。13.设a,b>0。证明方程不存在正根。证明：设，所以内严格递增。又。从而方程不存在正根。14.证明：证明：原不等式等价于，或令，则当所以，从而内严格递增，又在时有从而原不等式成立。15.证明：若函数在区间[a,b]上可导，且，则(a,b]在内有证明：令所以，从而在上严格递增，又，所以当§2柯西中值定理和不定式极限1．试问函数在区间[-1,1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？解：因为，故当时，，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1,1]上不能用柯
7、西中值定理。2．设函数在上可导，证明：存在，使得证：设，则在上连续并可导，且，由Rolle定理，存在，使得，从而3．设函数在点处具有连续的二阶导数。证明：证：因为在点处具有连续的二阶导数，所以在点的某邻域内具有一阶导数，于是由洛必达法则，分子分母分别对求导，有4．设。证明存在，使得证：设，，则都在连续，在可导，且都不等于0，。由柯西中值定理，存在，使得，即5．求下列不定式极限（1）（2）（3）（4
