微积分（第一章函数、极限、连续

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1、一元微积分-----第一章函数、极限、连续禹春福2009.3第一章函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L’P法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】函数概念函数的两要素函数的表示方法①显函数：②隐函数：由方程确定的函数.例：确定了．③参数方程表示的函数：由方程确定的函数.例：确定了.④积分上限函数：．例：⑤概率表示的函数：，其中为随机变量，为实数.⑥分段函数：自变量不同

2、范围内用不同式子表示的一个函数．【例】；.15一元微积分-----第一章函数、极限、连续禹春福2009.3如A.绝对值表示的函数；B.极限表示的函数；C.其他形式．-------符号函数取整函数．2、函数的性质【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】①．有界性：在某区间内有定义，若存在，对任意，总有，则称在某区间内有界.否则称在某区间内无界.例：．②．单调性：在某区间内有定义，若，当时，就称单调上升；当时，，就称单调下降．不含等号时称严格单增（或单减）.③．奇偶性：若，则称为偶函数，偶函数的图形关于轴对称；若，则称为奇函数，奇

3、函数的图形关于原点对称．④．周期性：．（主要是三角函数）【例1】讨论的奇偶性．【奇函数】【例2】设，则是（）．A.偶函数B.无界函数C.周期函数D.单调函数．【解】因为时，，所以非有界即为无界函数.15一元微积分-----第一章函数、极限、连续禹春福2009.33、基本初等函数【掌握基本初等函数的性质及图形】（反、对、幂、三、指）①常数函数---②幂函数---（为常数）例：③指数函数---（），④对数函数---（），，⑤三角函数---⑥反三角函数---4、复合函数、反函数、初等函数【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数

4、的概念，了解初等函数的概念】①复合函数；为外层函数，称为内层函数．②反函数的反函数为或.【例】称为是函数的反函数.【例】看作是由复合而成的复合函数.③初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子表示的函数.注意：分段函数一般不是初等函数。【例】设，，求．【解】．．15一元微积分-----第一章函数、极限、连续禹春福2009.3二、极限【理解极限的概念，理解左、右极限的概念及极限存在与左、右极限的关系】1、定义：若当时，，则称．结论：．．2、性质【掌握极限的性质】①．极限存在的唯一性：极限存在则

5、唯一．②．局部有界性：若，则在的一定范围内有.③．保号性：若，则在的一定范围内．④．若存在，则当时，一定有．【例】由.【例】由.【例】由单调递增.3、无穷小及其比较【理解无穷小、无穷大及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限】定义：若，则称时，为无穷小量．若，则称时，为无穷大量．（注意区别无穷大量与无界函数）性质：①有限个无穷小的和（积）仍为无穷小．②常数与无穷小的乘积仍为无穷小．③有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小．【即】【例】求．【0】无穷小的比较若和为自变量同一变化趋势下的无穷小量，15一元微积分-----第一章函数、极限、连续

6、禹春福2009.3①若，称是比高阶的无穷小，记为．②若，（），称和为同阶无穷小．③若，称和为等价无穷小，记为~．④若，(),则称是的阶无穷小．4.求极限的方法【掌握洛必塔法则、极限的四则运算法则、极限存在的两个准则、两个重要极限，会用它们求极限】①.用洛必塔法则求极限未定型的极限一般可用洛必塔法则来求.型直接用，，其他五种未定型的极限必须化为上述形式才能用洛必塔法则来求.【例1】求．【例2】求.【例3】求.【例4】求.【例5】求.15一元微积分-----第一章函数、极限、连续禹春福2009.3【例6】【例7】（2009数三）求②．

7、利用四则运算法则求极限（和、差、积、商的极限当每一个极限存在且分母极限不为零时可分别求）【例1】求．【例2】求　　．【例3】求.③．利用左、右极限求极限．【例1】设，求．【解】，，则=1．【例２】求15一元微积分-----第一章函数、极限、连续禹春福2009.3【解】　　；　　　，则．④．利用极限存在的两个准则求极限（Ⅰ）若，且，则．（Ⅱ）若数列单调递增有上界（或数列单调递减有下界），则数列一定有极限．【例1】求．【解】　因而，则　．【例２】求【解】，则或【例３】设，其中，求．【证】，即数列有下界15一元微积分-----第一章函数

8、、极限、连续禹春福2009.3即，即数列单调递减，由单调有界原理知数列有极限，设，则，即，则.【例4】设．【解】，假设，则，所以有上界；因假设，那么，所以单调递增；由于数列单调递增有上界，所以数列一定有极限，设在两边取极限，有．总结：给出了与的关系