泰勒公式及其应用(2)

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1、泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析这门课中的一个重要公式，在分析和研究数学问题中有着重要作用，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。它可以应用于求极限、进行近似计算、不等式证明、行列式计算、判断函数极值等方面。我们在这里主要来说明泰勒公式及若干应用。关键词：泰勒公式；函数；极限；不等式；近似计算；证明；收敛性。ApplicationoftheTaylorFormulaAbstract:Taylorformulaisamathematicalanalysisofthisclassinanimportantformula,TheTaylorformulaplaysanimportant

2、partinanalyzingandresearchingthemathproblemsandmakeinapowerfulleverinothermathematicalproblems.Itcanbeusedinordertolimit,todeterminethefunctionextremumseekinghigher-orderderivativevaluesatsomepointtodeterminetheconvergenceofseriesandgeneralizedintegral,approximatecalculation,inequalityprovedintegra

3、lproblems,differentialequationproblemandsoon.WearemainlyexplicatingtheTaylorformulasandanumberofapplications.目录1.泰勒公式31.1泰勒多项式31.2泰勒公式32.泰勒公式的证明32.1泰勒公式的成立条件及证明32.2泰勒公式的推广33.泰勒公式的应用33.1利用泰勒公式求极限33.2利用泰勒公式进行近似计算33.3用泰勒公式求斜渐近线33.4求某些微分方程中的解33.5用泰勒公式分解既约真分式成部分分式33.6在计算一些特殊类型的有理函数不定积分中的应用33.7用带皮亚诺余项泰勒公

4、式确定无穷小的阶33.8在不等式证明中的应用43.9在行列式计算方面的应用43.10证明根的存在唯一性43.11判断函数极值43.12函数凹凸性及拐点判断中的应用43.13泰勒公式在判定二元函数极限存在性中的应用41泰勒公式1.1泰勒多项式设在含有的开区间内有直到阶导数，…，为已知，现寻求一个次的代数多项式，使得…能否用近似代替？设，则有：……由故所求的代数多项式为此多项式称为函数在处的阶泰勒多项式。1.2泰勒公式设，称其为误差函数。显然，从而有，（在与之间），上式称为函数关于的阶泰勒公式，其中余项，（在与之间），称为拉格朗日余项。当时，，即，（在与之间），这正是拉格朗日公式当时，称为函数的

5、阶麦克劳林公式，其中。若设在含有的某个开区间内有直到阶导数，且在内有界，那么对，有其中，成为佩亚诺型余项。常见的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式有以下几种：1.2.3.4.5.6.2泰勒公式的证明2.1泰勒公式的成立条件及证明（一）带有佩亚诺余项的泰勒公式定理1：若函数在点存在直至阶导数，则有，即证明：设，现在只要证并易知因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数于是，当且时，允许接连使用洛必达法则次，得到证毕（二）带有拉格朗日余项的泰勒公式定理2：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点使得证明：作辅助函数，。所要证明的式子即为或不妨设，则与在上连续，在

6、内可导，且又因，所以由柯西中值定理证得，其中。证毕（三）利用定积分中值定理及牛顿-莱伯尼兹公式证明泰勒公式定理3：如果函数在含有的某个开区间内具有一直到阶的连续导函数，则当时，可表示为其中在与之间。证明：因为在内具有一直到阶连续导数，所以，，在闭区间（或）上具有一直到阶的连续导数，由牛顿-莱伯尼兹定理。上式右端应用定积分中值定理，在与之间因此，在与之间。又因为(1)(1)左端应用定积分中值定理得:(2)(2)式两端取到的积分即在与之间.同样由（3）（3）式左端应用定积分中值定理得，在与之间（4）（4）式两端取到的积分又得到（5）（5）式两端再取到的积分即因此在与之间。照此方法继续做下去，经次

7、后即得到。其中在与之间证毕顺便指出泰勒公式中函数具有阶连续导数可减弱为具有阶导数，此时由于在上连续在内可导，所以满足拉格朗日中值定理条件，应用拉格朗日中值定理有在与之间。对上式两端取到的积分由牛顿-莱伯尼兹公式得再取到的积分又得依次方法经次积分后即在与之间。2.2泰勒公式的推广定理1：若函数在区间上是次连续可微的，则有（1）其中，这就是学习者所熟悉的泰勒公式。对此公式进行一种推广，即有定理2：在与定理1完全相