泰勒公式的推广及某些应

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1、泰勒公式的推广及某些应用数学计算机学院数学与应用数学(师范)专业2012级届王杰摘要:目的推广带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式及应用.方法应用带有皮亚诺型余项的泰勒公式.关键词:极限；泰勒公式；推广；应用中图分类号：O172SomeApplicationofTaylorformulaanditsextensionAbstract:InordertogeneralizeTaylorformulawithremainderitemPeanoanditsapplication,theapplicationofTaylorformulawiththePeanofor

2、moftheremainderwasdiscussedincalculating.KeyWords:limits;Taylorformula;extension;application目录1引言12泰勒公式在实分析中的应用22.1泰勒公式在证明不等式中的应用22.2泰勒公式在求函数极限中的应用33泰勒公式在复分析中的一个推广43.1预备知识53.2主要公式及其推论63.3主要公式的证明73.3几个常见解析函数的泰勒展式及简单应用84泰勒公式在两函数的和、差、商的推广95结束语13参考文献13致谢14泰勒公式的推广及某些应用1引言泰勒公式有那些形式？为了方便我们研究和

3、讨论，在这我们先说几种.定理1.1设在点具有阶导数，即存在，则存在的某个领域，对于该邻域内的任一点，有(1.1)我们称为皮亚诺型余项，(1.1)式称为带皮亚诺型余项的泰勒公式.多项式(1.2)称作在处的泰勒多项式.当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式.(1.3)在泰勒公式(1.2)中，如果取，则在0与之间．因此可令，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓麦克劳林(Maclauri)公式(1.4)在泰勒公式(1.1)中，如果取，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式（1.5）那么它在这方面有那些应用？它又有什么推广和应用？我们通过以下的几个方面来深入探讨和研究.142泰勒公式

4、在实分析中的应用泰勒公式是研究复杂数学问题的极其有效的工具，在证明不等式、求函数极限、求近似值、判断函数极值等方面有着广泛的应用.因此，关于泰勒公式的应用一直是人们研究的课题.下面我们介绍泰勒公式的几个应用.2.1泰勒公式在证明不等式中的应用用泰勒公式证明不等式就是把所要证的不等式适当变形,把其中的函数用此公式展开,再把展开式右边进行放大或缩小,从而推证要证的不等式.例2.1当时，证明不等式成立.证明由于故即所以成立.例2.2设是上的连续正值函数，且证明.分析直接写出的泰勒展开式，然后根据题意对展式进行放缩.证明将在点处展开成带拉格朗日型余项的泰勒公式得：142.2

5、泰勒公式在求函数极限中的应用当极限为分式时，若分子或分母中只需展开一个，那么只需把其展到另一个的同阶无穷小的阶数；若分子和分母都需要展开，可分别展到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数.当极限不是为分式时，展开的阶数应与函数中最高次幂相同.例2.3求分析因为分子、分母都需要展开，比较一下分母为两个函数的乘积，先展分母，再把分子展开到分母的同阶无穷小.解所以故14通过上面的几个例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限具有简洁、方便的作用，从而准确、高效的解决一些数学问题.3泰勒公式在复分析中的一个推广泰勒公式在实变函数与复变函数中占有重要的地位，特

6、别是在函数逼近论、求解微分方程、级数理论和估值等方面都有其重要的理论与应用价值.众所周知，在数学分析中，泰勒公式大部分是在Lagrange中值公式的基础之上推广而提出的，并结合数学分析中的其它理论得到了带有各种余项形式的泰勒公式.与此相比较，在复变函数中，泰勒公式是在幂级数理论部分中提出的，并且主要运用柯西积分公式来证明的，也并没有提及泰勒公式余项的问题等.当然，实变函数中的大部分中值公式是不能直接推到复变函数中的[1]，但在复分析中有Grace公式及其推广与文献中的Lagrange中值公式等类似结论[2].这些理论研究有其不同的研究重点，但是它们也是实分析中微分中

7、值公式很好的继承与发展.基于这些理论和上面的分析比较，给本文公式的提出提供了理论支持和推理模式.本文就是在文献中的Lagrange中值公式的改进基础之上[2]，得出了本文中与实分析中的泰勒公式相类似的结论：设于内解析，在上连续，，连线含于内，则在线段上必有两点有在实分析实变函数展开为幂级数时，要证明其余项趋于零.而在复变函数展开为幂级数时，却不必要，要证明余项趋于零是非常困难与复杂的.鉴于此，本部分只形式地给出了余项.这也是部分结合实变函数的泰勒公式通过推理论证而得到的一个新结果.143.1预备知识定义3.1具备下列性质的非空点集,称为凸型区域，简称凸域.（1）