泰勒公式的证明及其应用(1)

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1、泰勒公式的证明及其应用XXX(XX学校XX院09级XX专业2班)摘要：泰勒公式是数学分析中的一部分重要内容。本文论述了泰勒公式的基本内容，并着重从7个方面介绍了泰勒公式在数学分析和实际生活中的一些应用：利用泰勒公式证明恒等式和不等式，求极限和中值点的极限，还有应用在函数方程中，除此外，还可用泰勒公式求极值，研究函数图形的局部形态，从而更加清楚地认识泰勒公式的重要性．关键词：泰勒公式；极限；极值；中值点；函数；应用引言泰勒主要是从有限差分出发，得到格里戈里–牛顿插值公式，然后令初始变量为零，项数为无穷，但没有给出余项的具体表达式．随着后人的

2、不断研究与完善，形成今天实用的泰勒公式．现代也有很多期刊和教材对这部分内容进行了介绍，对近似计算上的应用介绍也较全面，较系统，但在其它领域的应用则显简单，不系统，不全面，为了方便以后的学习，有必要对此部分内容进行归纳总结，而泰勒公式是一个多项式的拟合问题，而多项式是一种简单函数，它的研究对计算机编程计算极为方便．1Taylor公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，可以设想用一个的次多项式在附近去逼近，即令（1．1）从几何上看，这表示不满足在附近用一条直线（曲线在点的切线）去代替,而是想用一条次抛物线去替代它．由此猜想在点附近这两条

3、曲线可能会拟合的更好些，那么系数如何确定呢？假设本身就是一个次多项式，显然，要用一个次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有于是得：求一次导数可得：又求一次导数可得：这样进行下去可得：因此当是一个次多项式时，它就可以表成：（1．2）即附近的点处的函数值可以通过点的函数值和各级导数去计算．通过这个特殊的情形，得到一个启示，对于一般的函数，只要它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数，称为泰勒系，因而次多项式的次泰勒多项式就是它本身．2泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点及处函数及

4、阶导数值：，，以及用这些值表示动点处的函数值，本文研究泰勒公式的具体应用，比如证明中值公式，求极限等中的应用．2.1应用Taylor公式证明等式例1设在上三次可导，试证：，使得证明（利用待定系数法）设为使下列式子成立的实数：（2．1）这时，问题归为证明，，使得：令，则．根据罗尔定理，，使得，即：这是关于的方程，注意到在点处的泰勒公式：其中，比较可得原命题成立．例2设在上有二阶导数，试证：，使得（2．2）证明记，则在处泰勒公式展开式为：（2．3）对（2．3）式两端同时取上的积分，注意右端第二项积分为0，对第三项的积分，由于导数有介值性，第一

5、积分中值定理成立：，使得因此原命题成立．从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式，以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明，证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面通过两个例子来说明一下．2．2应用Taylor公式证明不等式例3设在上二次可微，，试证：，．证明取，将在处展开其中以乘此式两端，然后个不等式相加，注意得：例4设在上有二阶导数，当时，．试证：当时，．证明在处的泰勒展开式为：其中将分别换为可得：（2．4）（2．5）所以（2．4）式减

6、（2．5）从而由上述两个例子可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式．例3说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例4说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学校中，要会灵活应用，但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．2.3应用Taylor公式求极限例5设函数在上二次连续可微，如果存在，且在上有界，试证：．证明要证明，即要证：，当时．利用公式，，（2．6）即（2．7）记，因有界，所以，使得，故由（2．7）知（2．8），首先可取充分小，使得，然后将

7、固定，因，所以，当时从而由（2．8）式即得：，即例6判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程．（1）；（2）．解（1）首先设所求的渐近线为，并令，则有：从中解出：。所以有渐近线：．（2）设，，则有从中解出：，．所以有渐近线：．从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而，在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐近线．上述两个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例5是求无穷远处的极限，第二个例子是利用极限来求函数的渐近线，而求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目用洛毕达法则或

8、其它方法很难求出，或者比较复杂，所以，可以用泰勒公式来解决．2.4应用Taylor公式求中值点的极限例7设（1）在内是阶连续可微函数，此处；（2）当时，有，但是；（3）当时，有（2．9）其中，