浅述二重积分的计算方法

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1、成绩：学年论文题目：浅述二重积分的计算方法学院：数学与计算机科学学院专业：信息与计算科学班级：10信计1班学号：20102230姓名：徐小萌指导教师：过静2013年1月7日12目录摘要……………………………………………………………………………………………….31引言………………………………………………………………………………………………42二重积分的计算…………………………………………………………………………………42.1化累次积分计算法…………………………………………………………………………..52.2几何意义计算法…………………………

2、……………………….........................................62.3换元计算法…………………………………………………………………………………..72.4极坐标计算法…………………………………………………………..................................73二重积分的应用…………………………………………………………………………………83.1求平面图形的面积…………………………………………………………………….......93.2求空间立体的体积……………………………………………

3、…………………………....93.3求平面薄片的质量………………………………………………………………………....9结束语………………………………………………………………………………………………9致谢………………………………………………………………………………………………10参考文献…………………………………………………………………………………………10.12浅述二重积分的计算方法江西科技师范大学徐小萌摘要：本文介绍了几种二重积分的计算方法，着重从累次积分的计算，变量代换等方法阐述二重积分的计算，同时研究了二重积分的应用，并通过实例加以说

4、明。关键词：二重积分积分区域换元法极坐标121.引言二重积分是定积分的推广：被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x，y）：积分范围由数轴上的区域推广为平面区域（二重积分）。我个人在学习中就二重积分计算感到比较繁琐，而日常生活中二重积分又有很多应用。通过查阅资料和老师的指点，我认为重积分的计算方法还是有规可循的，我总结了几种方法供大家参考。2.二重积分的计算一般二重积分计算需要决定积分区域，再决定积分次序。这就是我们要研究的累次积分计算法。2.1化累次积分计算法二次积分在直角坐标系下可分为两种不同次序积分：一是先积y后积x的累次积分

5、，即：若f（x，y）在矩形区域D=[a，b]*[c，d]上可积，且对每个[a，b]积分dy存在，则累次积分dy也存在，且：=dy二是先积x后积y的累次积分，即：若f（x，y）在矩形区域D=[a，b][c，d]上可积，且对每个y[c，d]，积分存在，则累次积分也存在，且：=特别当f（x，y）在矩形区域D=[a，b][c，d]上连续时，则有：==例1计算d，其中D是由x=0，y=1及y=x围成的区域。解：（1）由题意知交点坐标分别为A（0，0）B（0,1）C（1,1）12（2）画出积分区域D的图形，D：（3）此题可化为先积x后积y的累次积分，

6、即：d====需要注意的是累次积分要选择适当的积分次序，积分次序的选择不同直接影响计算的繁琐，甚至计算不出结果来。要尽量将积分区域少分块，以简化运算过程；第一次积分的上、下限表达要简单。例2计算，D是由直线y=2x，x=2y，x+y=3所围成的三角区域解：（1）由题意知交点坐标分别为A（2,1）B（0,0）C（3,0）D（1,2）（2）画出积分区域D的图形，D：（3）把区域D划分成D和D且先积y后积x的累次积分，即：=+=+=+=2,、2几何意义计算法积分区域有时是特殊面，如圆柱面、球面、椭球面等我们可以利用他们所表示的几何意义来计算。例

7、3求两个底面半径相同的直角圆柱所围立体的体积V解：设圆柱底面半径为a则两援助方程为：z=V==12D：圆xV=dy=例4计算I=，D：y=2px，x=（p>0）(1)由题意可知交点坐标分别为A(),B(),C(0,0)（2）画出区域D的图形，D：（3）可化为x-型区域，则化为先x后y的累次积分，即：I==dy=2.3换元计算法计算定积分困难在于被积函数的原函数不易求得。适当地利用换元法可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。下面以定理给出。定理：设f（x，y）在有界闭区域D上可积，变换T：x=x（u，v），y=y（u，v）将u

8、v平面按段光滑封闭曲线所围成的闭区域D一一地应成xy平面上的闭区域D，且满足：（1）函数x=x（u，v），y=y（u，v）在D内分别具有一阶连续偏导数（2）在D上有雅可比行列式J=则=12例5