二重积分的计算方法

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1、德州学院数学系2011届信息与计算科学专业毕业论文二重积分的计算方法李季（德州学院数学系，山东德州253023）摘要：二重积分计算的基本途径是将二重积分转化为二次积分计算，转化二次积分的方法灵活多变，选择不当将会使积分更加复杂，甚至无法计算，本文针对不同种类的二重积分给出了与之相对应的计算方法，还介绍了如何利用对称性来简化二重积分的计算．关键字：二重积分；积分区域；二次积分；变量代换；二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分，在几何、物理等方面有着重要的应用．理解二重积分的概念，熟练掌握二重积分的计算，是进行有关研究的基础．但是，二

2、重积分的计算往往比较困难，不知道该怎样进行．学习二重积分的计算，关键在于掌握计算方法．1利用直角坐标系计算1.1积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数在积分区域上连续时，若为型区域（如图1），即，其中在上连续，则有；（1）图1若为型区域（如图2），即，其中在上连续，则有13德州学院数学系2011届信息与计算科学专业毕业论文．[1]（2）例1计算，其中是由，，及所围成．分析积分区域如图3所示，为型区域．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解．yy=xx

3、y=1D2D1xO2112图3解积分区域为型区域则图41.2积分区域非X型或Y型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的型或型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干型或型区域，然后利用公式（3）进行计算，例2计算二重积分，其中为直线及所围成的区域．分析：积分区域如图5所示，区域既不是型区域也不是型区域，但13德州学院数学系2011届信息与计算科学专业毕业论文是将可划分为均为型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算．yxOx=2yy=2xx+y=3图5解划分为，则

4、1.3被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．OyxD1D2图6例3计算二重积分，其中为区域，．[2]分析由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为，两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．13德州学院数学系2011届信息与计算科学专业毕业论文解区域如图

5、6可分为，其中，由公式（3）则2利用变量变换法计算定理1设在有界区域上可积，变换，，将平面按段光滑封闭曲线所围成的区域一对一地映成平面上的区域，函数，在内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式，．则（4）（4）式叫做二重积分的变量变换公式，2.1根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．例4求，其中是由所围曲线（图7）分析由于被积函数含有的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换：在变换作用下区域

6、的原像如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．13德州学院数学系2011届信息与计算科学专业毕业论文解做变换所以图8vuODyxO图72.2根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有且，则把平面上的积分区域对应到平面上简单的矩形区域，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．例5求抛物线和直线所围区域的面积．分析的面积．实际是计算二重积分13德州学院数学系2011届信息与计算科学专业毕业论文，其被积函数很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现；，如果设，

7、则有，解的面积作变换，所以．例6求．所围区域．分析积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T：，它把平面上的区域对应到平面上的矩形区域．解令在变换作用下，区域的原像，所以．13德州学院数学系2011届信息与计算科学专业毕业论文2.3利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有、或形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换，这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为.（1）如果原点，且平面上射线常数与积

8、分区域的边界至多交于两点，则必可表示为，．则有（5）类似地，若平面上的圆常数与积分区域的边界至多交于两点，则必可表示为，那么（6）（2）如果原点为积分区域的内点，的边界的极坐标方