微分几何方法与非线性控制系统（2）

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1、维普资讯http://www.cqvip.com弓呵毳拳帮期。患。箍融。VoAI．p2r1．。，N1o99．2微分几何方法与非线性控制系统(2)／ol--!o毛张嗣瀛王景才刘晓平●I___-一-____一(东北工学院自控系．沈阳．110006)4向量场与动态系统众所周知，现代控制理论的研究是在状态空间上，使用状态方程．但有些动态系统，特别是非线性系统，其动态演变是在微分流形上进行的，演化结果是流形上的一条曲线．描述无穷小演化的微分方程是定义在流形上的向量场，因此，研究流形上的动态系统，就要分析流形上的向量场．流形上向量场的局部坐标

2、表示是中的微分方程组．在状态空间中，向量场就是状态方程的几何解释．应用向量场来研究动态系统的方法，就是几何方法．4．1切向量与切空间设M为维微分流形．某一动态系统，其动态演变是在M上进行，比如，一质点在球面上运动，球面可视为二维微分流形，我们所关心的不仅是质点的位置，还有点的速度向量，正是点的位置和速度向量才完全描述质点的运动．在欧氏空间中，速度向量的几何解释是动点运动轨迹的切向量或曲线的切线．为了研究微分流形上的速度向量，我们设想在的每一点处，必自然方式关联着一个向量空间，称为该点的切空间，速度向量或切向量就包含在其上．实际上，

3、它是欧氏空间中光滑曲线或曲面(即微分流形)在每点处切线或切平面．这种想法，高明之处在于只需用流形本身而没有将M，象前面那样，再嵌入到相应的欧氏空间中．既然将流形M的切空间作为曲面切平面的推广，有必要分析R中曲线的切线．设yER"是一向量，Xo∈R是一定点，，是在‰邻域有定义的C函数，柑Y方向的方向导数为Df(x)()=Y7-I应注意的是向量Y是导数的方向．对每一个，∈c()，令，一四r()()，这就给出一个映射D：c(。)一R，直观上看D相当于耄●=1～(4_1)易证它具有导致的性质(1)线性性和(2)乘法法则．这样，对任何一个向

4、量yER，就存在一个线性映射D，满足线性性和乘法法则l反过来，也可证明，对任一具有线性性并满足乘法法则的线性映射D，都有唯一的向量yER，使得D(，)一Df(x。)()于是，映射D与向量Y建立了对应关系．从前面的分析得知，Y是R中的向量，表示函数的导数方向，即切线方向．那么自然会想到，正象把导数定义为线性映射口r(‰)一样，我们把具有线性性并满足乘法法则的映射D：C(。)一R，作为中向量或说是函数的切线方向是完全可以理解的．由于微分流形局部与相同，因此可直接应用于微分流形中去．维普资讯http://www.cqvip.com信息与

5、控倒I99Z年第0l眷第0期微分流形M在P点处的切向量是一映射：c(M，户)一R并具有下面的性质；(1)线性性：x，(a，+})一ax(+卢x，(g)(2)乘法法则：X(，·g)一，(户)x，(g)+g(户)x(，)其中f，gEC(M，户)；a，∈R．另外+8(一a()+8g((，·g)(户)一，(户)·g(户)至此，我们又一次将切向量定义为映射．记微分流形M上在P∈M处的全体切向量所构成的集合为T，(M)，并定义如下运算(aX+)(，)=aX，(，)+(，)，X，，Y，∈(M)，a，卢∈R可以证明，+I9∈TM，即M构成一个向量

6、空间，将其称为微分流形M在P点的切空间．实际上，它就是欧氏空间曲面在P点的切平面的推广．设M含声的局部坐标(u，，坐标函数为(一'．．·，)，立刻会想到，切向量墨应和』中一样，具有形式(4．1)，而，i=1，⋯，m，应是基底，事实就是这样．设映射，l。(M，户)R乱，一f6(脚)则可证明dimT。M=m，且基底为．’，’l(l4_‘2z)j并且任意X，∈M，可表示为一昙一3)其中(一)，⋯，X，(，)为基底(4．2)的分解系数，称切向量关于局部坐标(u，声)的坐标，为一常数，随基底的不同而变．当明确基底后，切向量可简写为一个向量X

7、。一[n。’．．·，a](4．4)若任给，∈c(M，)，则有=“一5)这正是』中的方向导数．4．2对偶向量场与对偶空间因为肘是一个m维向量空间，可以在其上定义线性泛函．令：T，M—R是实线性泛函，由泛函分析得知，泛函应具有如下形式w(X，)一<，X)(4．6)这里(·，·)表示内积，它显然是线性的．称瑟函m为对偶向量或余切向量．T，上的所有对偶向量构成一新的空间，记为T；M．现定义如下运算，设，∈丁M，a，p∈R，X，∈M，令(口+卢2)(X，)=彻l(XP)+舢(X，)则T；M构成线性空间，称其为对偶空间或余切空间．维普资讯ht

8、tp://www.cqvip.com张嗣瀛等微分几何方法与非线性控制系统103夸一则d一，⋯，dx=构成丁M的一组基底，称为对偶基．任给∈丁；M，在局部坐标下均可表示为=b1d+⋯+df"(4．8)为方便起见，简记为一[-b．⋯，b]．设X，ET，