微分几何方法与非线性控制系统 5

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1、维普资讯http://www.cqvip.com，第199221年誊第10月，期-．，-In

2、o信息n与n而控制∞lVol_21．No．5．Oct．1992微分几何方法与非线性控制系统(5)张嗣瀛王景才、，刘晓平￡一杀ji孚皖自拴i．，110006)／／8控制系统中的对称结构及相似结构8．1对称性及相似性当前，对系统科学的发展，国内外都给予极大的关注，并致力于从不同的侧面、观点探索其规律．今考虑自然形成的控制系统．这种系统在其发展过程中，需要适应外界环境，并力求以最佳状态运行，故应是。自寻最优地逐渐演化而形成其结构．这类系统除具有很强的非线性和相当的复

3、杂性外，在结构上也有其明显的共性和特征例如，对称性(人和生物)、相似性(社会、管理等系统的组织结构具有相似性)以及其它可能的结构．生物系统结构的相似性在我国针灸医疗系统中早被察觉并应用．人体经络系统的穴位分布是由不同层次的与总体(人体)相似的子系统构成的．例如，人耳如卧婴，其上穴位与人体对应山东大学张颖清教授提出“生物全息律”，指出“生物体的任意相对独立部分与整体相似”．钱学森教授认为张提出了生物是若干相似的中间层次结构所组成的“(见[1]中的序)，但张不研究系统的控制问题．也不研究社会、管理等系统．仅就对称、相似性来看，一个自然的控制系统，似由具有对

4、称结构和相似结构的不同层次子系统组成的．若为“最佳”，那么，这种结构的优点何在?具有哪些性质与功能?各层次间如何具体地构成以及作用机理如何?由功能不同的子系统所构成的大系统，又有何种不同质的功能呢?⋯⋯从上述观点出发研究控制系统，国内外似尚未见到．但是，确已有人研究过控制系统的对称性0，关于极特殊的相似组合系统也有人讨论过0．上面提到的问题都远未清楚，但若能获得某些实质性的规律，则由于这类系统的广泛代表性，将有重要的理论和实际意义．本章的目的，是希望这一方面的研究能引起同行们的趣和关注，因此就控制系统中的对称结构及相似结构做一简要介绍．82对称结构的数

5、学插述要讨论系统的对称性，如何用数学语言来描述或定义系统的对称性是一个关键问题．我们知道，对称性是事物经过某些变换后仍保持的不变性或部分不变性．一般说来，系统的对称性是指其动态在一个或一族(坐标)变换下保持不变的性质．而一族坐标变换构成一个“群作用．因此用微分几何方法来描述控制系统的对称性较为有效．在给出对称性定义之前先介绍几个有用的概念定义1(李群及李代数)如果一个集合G满足：(1)是一个微分流形}(2)是一个李群，且群运算是光精的，则此集合即为李群．在李群上，其所有左不变向量场(．=)的集合收穑日崩，1991—05—06维普资讯http://www

6、.cqvip.com张舅曩苷·徽分几何方法与非线性控■幕坑(5)在李括号意义下构成一个k(=dimG)维李代数，称它为李群G的李代数．又同构于单位元处的切空间TeG，因此通常也称TeG为李群G的李代数．定义2(群作用)设M是一个光滑流形，G是李群，若光滑映射；GXM~M满足(，)=，V∈M(^，)=(，(^，))，V∈M，g，h∈G则称是李群G在M上的作用．值得注意自辱是映射：一(，)是M到M上的微分同胚，其逆映射为一如果映射：一(，)是一一的，则称作用在处是自由的}如果在所有xEM处都是自由的，则称是自由的．下面就来介绍对称性的概念．定义3(对称性)

7、设三(B，M，，)是一个控制系统，0和分别是李群G在B和M上的作用．如果对所有的gEG，均有a．f=faa=a则称系统三具有对称性(G，，)．其中是由B到的投影映射．此定义的一个很重要的特例就是对称性发生在状态空间上的．即当B=MXU时系统三关于，及以=(，，似。)：，“)一(，)，“)具有对称性，这种对称性被称为状态对称(G，)．以上对称性概念是建立在全局意义上的．由于实际应用中，特别是关于非线性控制系统，大部分问题均属于局部情形，为此下面给出局部对称性定义，即无穷小对称及无穷小状态对称．定义4(无穷小对称)设三(B，M，是一个控制系统，0和分别是李

8、群G在B和M上的群作用．如果对于每个。EM，存在。的一个邻域及E>0，使得丁()a，(6)=，(()6)对所有的bE()，ltI0，使得丁(e)af(x，“)=，(

9、(e)，“)对所有的，“)∈-1()，ltl