三角函数公式推导(精简板)

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1、三角公式及推导　诱导公式：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公

2、式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsi

3、n（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈z)诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不

4、改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）两角和差公式⒉两角和与差的三角函数公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ           tanα＋tanβtan（α＋β）＝——————--         1－tanα·tanβ

5、           tanα－tanβtan（α－β）＝——————         1＋tanα·tanβ和差公式的证明：(1)两角差的余弦yABOCxβββ(α-ββββββββα-　㎏βαββ-β)α令AO=BO=r点A的横坐标为点A的纵坐标为点B的横坐标为点B的纵坐标为由余弦公式可得：综上得：(1)两角和的余弦(2)两角和的正弦(3)两角差的正弦(1)两角和的正切(2)两角差的正切二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）表示一：sin2α＝2sinαcosα证明：因为sin(a+b)=sina×cosb+cosa

6、×sinb，令a=b=q，所以，可得：sin2q=2×sinq×cosq表示二：（以正切表示二倍角）sin2q=證明：sin2q=2sinqcosq=2cos2q=2tanq()=余弦二倍角公式：表示一：cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)证明：因为由和角公式：cos(a+b)=cosa×cosb-sina×sinb，令a=b=q，所以，可得：cos2q=cos2q-sin2q=2cos2q-1=1-2sin2q表示二：cos2q=證明：cos2q=2cos2q-1=-1=-1=

7、      2tanαtan2α＝—————     1－tan^2(α)证明：因为由和角公式：tan(a+b)=，令a=b=q，所以，可得：tan2q=結論：利用tanq可以將sin2q，cos2q，tan2q表示出來，整理如下：(a)sin2q=(b)cos2q=(c)tan2q=用三角形直观表示如下：（图）半角公式         1－cosα或：sin^2(α/2)＝—————         2          1＋cosαcos^2(α/2)＝—————          2          1－cosαtan^2(α/

8、2)＝—————         1＋cosα万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=