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《解析几何_苏大第四版_课后答案(吕林根_许子道)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第1章矢量与坐标§1.1矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点AF2.设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EFBO和FA中，哪些矢量是相等的？E[解]：如图1
2、-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：C图1-1OA和EF；OB和FA；OC和AB；OE和CD；OF和DE.3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM.当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？1[证明]：如图1-2，连结AC,则在ΔBAC中，KLAC.KL与AC方向相同；在ΔDAC21中，NMAC.NM与AC方向相同，从而2KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM.4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体
3、，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1)AB、CD;(2)AE、CG;(3)AC、EG;(4)AD、GF;(5)BE、CH.图1—3[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。§1.3数量乘矢量1.要使下列各式成立，矢量a,b应满足什么条件？（1）a+b=a−b;（2）a+b=a+b;（3）a+b=a−b;（4）a−b=a+b;（5）a−b=a−b.[解]：（1）a,b所在的直线垂直时有a+b=a−b；（2）a,b同向时有a+b=a+b;（3
4、）a≥b,且a,b反向时有a+b=a−b;（4）a,b反向时有a−b=a+b;（5）a,b同向，且a≥b时有a−b=a−b.2.设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL,BM,CN可以构成一个三角形.1[证明]：∵AL=(AB+AC)21BM=(BA+BC)21CN=(CA+CB)21∴AL+BM+CN=(AB+AC+BA+BC+CA+CB)=02从而三中线矢量AL,BM,CN构成一个三角形。3.设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OA+OB+OC
5、=OL+OM+ON.[证明]∵OA=OL+LAOB=OM+MBOC=ON+NC∴OA+OB+OC=OL+OM+ON+(LA+MB+NC)=OL+OM+ON−(AL+BM+CN)由上题结论知：AL+BM+CN=0∴OA+OB+OC=OL+OM+ON4.用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点∵AD=OD−OABC=OC−OB但AD=BC∴OD−OA=OC−OB图1-4OA+OC=OD+OB由于(OA+OC)∥AC,(OB+OD)∥
6、BD,而AC不平行于BD，∴OA+OC=OD+OB=0，从而OA=OC，OB=OD。5.如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.[证明]：因为OM＝1(OA+OC),OM＝21(OB+OD),2所以2OM＝1(OA+OB+OC+OD)2所以图1-5OA+OB+OC+OD＝4OM.6.设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明:GOA+OA+…+OA＝0.12n[证明]：因为OA＋OA＝λOA,132OA＋OA＝λOA,243……OA+OA＝λ
7、OA,n−11nOA＋OA＝λOA,n21所以2(OA+OA+…+OA)12n＝λ(OA+OA+…+OA),12nG所以(λ－2)(OA+OA+…+OA)＝0.12n显然λ≠2,即λ－2≠0.G所以OA+OA+…+OA＝0.12n§1.4矢量的线性关系与矢量的分解1.设一直线上三点A,B,P满足AP＝λPB(λ≠－1),O是空间任意一点，求证：OA+λOBOP＝1+λ[证明]：如图1-7，因为AP＝OP－OA,PB＝OB－OP,所以OP－OA＝λ(OB－OP),(1+λ)OP＝OA+λOB,图1-7O
8、A+λOB从而OP＝.1+λ2.在△ABC中，设AB＝e，AC＝e，AT是角A的平12分线（它与BC交于T点），试将AT分解为e,e的线性12组合.
9、BT
10、
11、e
12、1[解]：因为＝,
13、TC
14、
15、e
16、1且BT与TC方向相同，
17、e
18、BT1TC所以＝.
19、e
20、2图1-8由上题结论有
21、e
22、e+1e12
23、e
24、
25、e
26、e+
27、e
28、e22112AT＝＝.1+
29、e1
30、
31、e1
32、+
33、e2
34、
35、e
36、23.用矢量法证明：P是△ABC重心的充要条件是GPA+PB+PC＝0.[证明]：“⇒”若
