空间曲线曲率计算公式及推导

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1、1.4空间曲线的曲率定义及计算公式引理设是单位圆周上的向量，即，设与之间的夹角记为，则有。证明因为，所以。（用解等腰三角形或用余弦定理，得23。）定理1.2设曲线：（是弧长参数）上的每一点有一个单位向量，与之间的夹角记为，那么。设曲线：，这里参数是曲线自身的弧长，我们知道，是曲线的切向量，，即是单位向量。记，，与的夹角，度量了曲线的弯曲程度。，我们称之为曲线的曲率，用23来表示，。（举例解释，需要曲率这个量来刻画曲线；曲珑拐弯，拐弯抹角的程度。）例1．直线可以用向量方程表示为，其中和为常向量，并且，这时切向量是常向量，从而，曲率。反之，如果，即，由此可知是常向量，进而

2、解得，其中和为常向量。由此可知：直线的特征是。23例1．讨论圆。（这是由于，而，，故圆的方程可表示为。）这时，，。于是，，即圆的曲率等于其半径的倒数。23空间曲线曲率的计算公式：设曲线：，这里参数不必是弧长参数。我们有，，将以上两式的双方作向量外积，得，由于，，得，（即互相垂直）所以23由于，所以，由此得出曲率公式。，把，23代入曲率公式，可得简便计算公式。例3求圆柱螺线，的曲率。解直接计算，得，，所以，，，，又23，代入公式，得出曲率。它是一个常数，这与几何直觉是相符合的。平面曲线的曲率计算公式：设平面曲线L：。，所以，平面曲线L：23的曲率。对曲线，此时，则曲率。

3、若曲线由极坐标方程给出，且二阶可导。则可得23由曲率公式，可计算：。代入，得曲率为。例6求心形线在处的曲率。解，23代入公式，它在曲率为。空间曲线曲率公式的另一种证明方法：对光滑曲线：，，，，，严格递增，反函数存在，记为，把它代入；所以，是的函数，这里参数是弧长参数。23我们有，，。空间曲线的曲率（描述曲线的弯曲程度）。设曲线的参数方程为：，，，，并假设是光滑曲线，且，，连续，设，则曲率。设曲线：，这里参数不必是弧长参数。我们有，23，；，，，，，，，，，，23，由，代入计算，得，由此而来，由，得23，故得空间曲线：的曲率，即。设平面曲线L：，23所以，平面曲线L：的

4、曲率。当曲线由方程给出时，此时，利用上式，，，，，故曲率。23曲率半径：若光滑曲线在点处的曲率为，当时，称为曲线在处的曲率半径。（平面曲线的情形，也有用几何图形给出的更方便直观的证法，见华东师大的书。）例1、求曲线的曲率的最大值。解由曲率的表达式，23从而得的最大值为。例2、证明：若曲线的所有切线经过同一点，则该曲线是一条直线.证明证法一设曲线的切线经过，则有,于是，，假若，则，再由，得，矛盾，所以23从而曲率，故曲线必为一条直线.证法二设曲线为，为弧长参数;所有切线经过的点为，则有，从而,由，得与正交，于是因为必有，所以为一条直线.例3、求椭圆23上曲率最大和最小点

5、.解由于.由公式，得.不妨设，于是在（长轴端点）处曲率最大；而在、（短轴端点）处曲率最小；且.例4、由下述方程确定一条球面曲线：23给定曲线上的一点求曲线在处的曲率.解曲线为;由条件得;再由,得;,，，,,,代入曲率公式，计算,得.23例5、设函数具有连续二阶偏导数，且，则等高线（为常数）的曲率为.解设由所确定的隐函数为，于是，求导得，从而，再求导可得，代入曲率公式，计算得,;直接验证，23可知，，，故有.23