连续函数的性质(1)

《连续函数的性质(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、§4.2连续函数的性质§2连续函数的性质Ⅰ.教学目的与要求1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性.2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨论函数的连续性.3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题.4.理解函数一致连续性的概念.Ⅱ.教学重点与难点:重点:闭区间上连续函数的性质.难点:.闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念.Ⅲ.讲授内容一连续函数的局部性质若函数在点连续，则在点有极限，且极限值等于函数值.从而，根据函数极限的性质能推断出函数在的

2、性态．定理4．2(局部有界性)若函数在点连续，则在某内有界．定理4．3(局部保号性)若函数在点连续，且(或)，则对任何正数(或)，存在某，使得对一切有，）.注在具体应用局部保号性时，常取则（当时）存在某使在其内有.定理4．4(四则运算)若函数和在点连续，则(这里)也都在点连续．以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得．对常量函数和函数反复应用定理4．4，能推出多项式函数和有理函数（为多项式)在其定义域的每一点都是连续的．同样，由和在上的连续性，可推出与在其定义域的每一点都连续．关于复合函数的连续性，

3、有如下定理：§4.2连续函数的性质定理4.5若函数在点连续，在点连续，,则复合函数在点连续．证由于在连续，对任给的，存在，使得当时有．又由及在点连续，故对上述，存在，使得当时有．联系(1)得：对任给的，存在，当时,有．所以在点连续．注根据连续性的定义，上述定理的结论可表为．例1求．解可看作函数与的复合．由(2)式得．注若复合函数的内函数当时极限为，而或在无定义(即为的可去间断点)，又外函数在连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有还可证明：式不仅对于这种类型的极限成立，而且对于，或等类型的极限也是成立

4、的．例2求极限：；.解；.二闭区间上连续函数的基本性质设为闭区间上的连续函数，本段中我们讨论在上的整体性质.§4.2连续函数的性质定义1设为定义在数集上的函数．若存在，使得对一切有，则称在上有最大(最小)值，并称为在上的最大(最小)值．例如，在上有最大值1，最小值．但一般而言，函数在其定义域上不一定有最大值或最小值(即使在上有界)．如在上既无最大值也无最小值．又如它在闭区间上也无最大、最小值．下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件．定理4．6(最大、最小值定理)若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小

5、值．推论(有界性定理)若函数在闭区间上连续，则在上有界．由式给出的函数在闭区间上无界，什么对函数上述推论的结论不成立．定理4．7(介值性定理)设函数在闭区间上连续，且．若为介于与之间的任何实数或)，则至少存在一点，使得这个定理表明，若在上连续，又不妨设，则在上必能取得区间中的一切值，即有，其几何意义如图4—2所示．推论(根的存在定理)若函数在闭区间上连续，且与异号(即)，则至少存在一点，使得，即方程在内至少有一个根．这个推论的几何解释如图4—3所示：若点与分别在轴的两侧，则连接、的连续曲线与轴至少有一个交点．§

6、4.2连续函数的性质应用介值性定理，我们还容易推得连续函数的下述性质：若在区间上连续且不是常量函数，则值域也是一个区间；特别，若为闭区间，在上的最大值为，最小值为，则；又若为上的增(减)连续函数且不为常数，则.下面举例说明介值性定理的应用．例3证明：若，为正整数，则存在唯一正数，使得称为的次正根(即算术根)，记作)．证先证存在性．由于当时有，故必存在正数，使得．因在上连续，并有，故由介值性定理，至少存在一点，使得．再证唯一性．设正数使得，则有，由于第二个括号内的数为正，所以只能，即.例4设在上连续，满足．证明：

7、存在，使得.证条件意味着：对任何有，特别有§4.2连续函数的性质以及．若或，则取或，从而式成立．现设与．令，则，．故由根的存在性定理，存在，使得，即从本例的证明过程可见，在应用介值性定理或根的存在性定理证明某些问题时，选取合适的辅助函数(如在本例中令)，可收到事半功倍的效果．三反函数的连续性定理4.8若函数在上严格单调并连续，则反函数在其定义域或上连续．证不妨设在上严格增．此时的值域即反函数的定义域为，．任取，设，则．于是对任给的，可在内的两侧各取异于的点，使它们与的距离小于(图4—4)．设与对应的函数值分别为

8、，，由的严格增性知令，则当时，对应的的值都落在与之间，故有，所以在点连续，从而在内连续．类似地可证在其定义区间的端点与分别为右连续与左连续．所以在上连续．-例5由于在区间上严格单调且连续，故其反函数§4.2连续函数的性质在区间上连续．同理可得其它反三角函数也在相应的定义区间上连续．如在上连续，在上连续等．例6由于(为正整数)在上严格单调且连续，故在上连续．又若把(为正整数)看作由与复合