重积分计算的换元法分析

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1、绥化学院2012届本科生毕业论文绥化学院本科毕业设计（论文）重积分计算的换元法分析学生姓名：李婷婷学号：200854100专业：应用数学年级：2008级一班指导教师：齐秀丽副教授绥化学院2012届本科生毕业论文SuihuaUniversityGraduationPaperTimesNewRoman二号，加粗ResearchDevelopmentofMg-baseHydrogenStorageMaterialsStudentnameLiTingtingStudentnumber200854100MajorAppliedchemistrySupervisingte

2、acherQiXiuliSuihuaUniversit绥化学院2012届本科生毕业论文摘要换元法是数学中求重积分时用到的一种非常重要的计算方法，它不仅是重点，也是难点。本文共分为两章，第一章介绍的就是与二重积分和三重积分在换元法上的一些相关概念、定理及其公式推导过程，而第二章则是结合第一章的相关内容进一步运用到实例中进行分析研究及其说明。关键词：二重积分；三重积分；换元法I绥化学院2012届本科生毕业论文目录SuihuaUniversityGraduationPaper2SuihuaUniversit2摘要I目录前言1第1章重积分计算的换元法理论2第1节二重积

3、分换元法的理论分析2第2节三重积分换元法的理论分析6第2章重积分计算的换元法实例10第1节二重积分的换元法实例10第2节三重积分的换元法实例18结论28参考文献29致谢30绥化学院2012届本科生毕业论文前言换元法是重积分计算中一种重要方法，是我们必须掌握的基本技能之一。它同其它数学知识一样，都是经历了从特殊到一般，从直观到抽象的发展阶段，而人们正在这样的发展中，逐渐认识、了解到它们的内在联系及其本质。然而本文我们要阐述的是对重积分计算的换元法分析，也就是针对于二重积分和三重积分进行的换元法分析。本文共分为两章，第一章最主要内容就是对重积分换元法的理论进行分析

4、，尤其是定理的分析是其中心内容，而第二章的内容是重积分计算的换元法实例及其分析。无论是二重积分换元法，还是三重积分换元法，目的就是使计算更简便。本文就是针对于二重积分与三重积分的多种换元法进行的分析，将第一章理论分析运用到第二章实例中。在通过比较各种解法的难与易，繁与简的基础上，总结出一些规律性的东西，进一步提高学习效果及其掌握它的本质和应用技巧。本文将借鉴已有的理论知识，结合自身理解，对重积分计算的换元法进行分析说明。绥化学院2012届本科生毕业论文第1章重积分计算的换元法理论第1节二重积分换元法的理论分析定理1(二重积分换元法)若函数在有界闭区域连续，函数

5、组①将平面的区域一对一的变换为平面上的区域，且函数组①在上对与存在连续偏导数，，有，则有：．证明用任意分法将区域分成个小区域：，，，．设其面积分别是，，，．于是，在上有对应的分法，将对应的分成个小区域：，，，．设其面积分别是，，，．，有：，，在对应唯一一点，而，则．做二重积分的积分和，上式右边的和式是上可积函数的积分和．又由变换的连续性可知，当区域的分割：，，，的细度时，区域绥化学院2012届本科生毕业论文相应的分割：，，，的细度也趋于零．因此得到．分析从几何的角度看，函数组①是一种变换，它把平面上的区域变为平面上的区域，在这个变换之下其面积微元之比正等于函数

6、组①雅可比行列式的绝对值：，即，这就是二重积分换元法内涵．要点1当二重积分区域的边界方程较复杂时，无法画图、无法确定二次累次积分的积分限时，常考虑用以上定理换元．根据上面定理可直接推导出一个应用广泛的重要推论如下：推论若函数在有界闭区域连续，设函数组②则该变换的逆变换把一一变换为，则有：，则，这时我们把函数组②叫做二重积分的极坐标变换．分析（1）从积分区域上看，当有界闭区域是圆域时，极坐标变换的逆变换把平面上的区域变成平面上的矩形区域，：，．（如图1-1所示）　　　　　　　　　　　　　　　②的逆变换　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　绥化学院2012

7、届本科生毕业论文图1-1因此当积分区域的边界方程中含有“”时常用极坐标代换，这样就可以把复杂区域上的二重积分转化为矩形区域上的二重积分来计算．（2）从被积函数上看，当被积函数的解析中含有“”时常用极坐标代换，因为可以把“”变为“”把两个变量化为一个变量，以达到消元目的．要点2当二重积分的被积函数的解析式中或积分区域的边界方程中含有“”时常用极坐标代换．例1求出抛物线，以及双曲线，所围区域的面积．分析该面积可用二重积分来计算，其即为要求平面图形的面积，即积分区域是由抛物线，，，以及双曲线，围成，所以积分限的确定比较复杂，故应做适当换元，把给定被积函数转变为较简单

8、的函数，故作变换：进行求解，其中雅可比