西交大有限元原理及的应用-大作业

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1、有限元原理及工程应用——大作业学院：机械工程学院班级：硕4002班小组成员：李追3114001089陈草31140010802015.5.19作业题目：利用有限元方法对简支梁问题进行求解，梁的横截面为矩形，其约束情况如图1所示。已知梁的几何尺寸和物理参数如下：（1）几何尺寸：长度，截面尺寸；（2）物理参数：弹性模量GPa，泊松比，密度。图1．梁及其横截面示意图要求：(1)至少划分五个节点（四个单元）；(2)给出单元节点信息；(3)给出单元刚度矩阵和质量矩阵；(4)给出总刚度矩阵和总质量矩阵；(5

2、)求出梁各界固有频率及振型（五阶）；(6)将所得结果与理论值进行对比，验证方法的可行性。解：由有限元知识，根据Rayleigh-Ritz法，解有限元分为四步：建立离散化、单元分析、形成总体方程、解方程，具体步骤如下：（1）建立离散化这里我们将矩形截面简支梁等分四等分，即分为六节点的五个杆单元，如图2所示：每个单元尺寸，这里只考虑杆在竖直平面的弯曲，每个节点只有y方向位移和绕z轴的旋转自由度。（2）单元分析构造一组Lagrange插值基函数，在本节点值为1，其他节点值为0。从Rayleigh-Ri

3、tz法可以看到，插值函数要p次可微，最高阶导数出现在应变能表达式中；同样，我们可以这一原则适用于基函数的选择以及形状函数，否则我们将无法正确计算应变能当我们使用有限元逼近方法。梁的弯曲问题，应变能计算公式：（1-1）其中，E为弹性模量，Iz为截面惯性矩。从公式可知，位移函数必须连续，并且二阶导数平方可积。如图3，是一维杆单元模型，每个节点两个自由度，该单元含有四个自由度，即（）。本题中我们采用三次多项式插值函数：（1-2）因此，我们必须给出四个形函数（位移模式）。图3一维杆单元模型1)构造Her

4、mite插值函数。选择局部坐标系(,)，其中l是单元长度，转角是挠度值的一阶导数，定义边界条件：（1-3）因此，我们给出变形的Hermite的多项式插值函数：（1-4）其中，和分别满足如下条件，对应的图形如图4所示：（1-5）图4一维Hermite插值多项式2)基于Langrage和Hermite插值多项式，写出单元形函数（1-6）节点位移值也可以得出（1-7）同时，表达式（1-7）用矩阵表示为（1-8）其中，，1)用能量表达式替代表达式中的和。动能表达式：（1-9）将（1-8）带入（1-9），

5、得到（1-10）从而获得质量矩阵：（1-11）带入，（1-12）应变能表达式：（1-13）刚度矩阵表达式：（1-14）带入，可以得到（1-15）（3）形成总体方程将每个杆单元的能量方程组装。完整梁上的的总动能和能量的和所做的总功梁上的外力作用，所有的自由度的位移矢量可以给出：（1-16）将位移矢量转换为全局坐标系下的位移矢量，变换矩阵为：（1-17）（1-18）分别以矩阵形式给出动能和质量矩阵：（1-19）（1-20）因此，总体质量矩阵为总体刚度矩阵：求固有频率。总应变能(1-21)(1-22)

6、利用Lagrange方程，推导简支梁自由振动方程：(1-23)这里，我们假设简支梁做简谐振动，则(1-24)因此，特征方程为：(1-25)其中，，为固有频率。（3）解方程，有限元分析结果基于上述理论,我们获得了采用MATLAB的有限元分析程序代码。提交边界条件、材料特性和几何参数到上面的方程,使用MATLAB代码我们得到以下结果。（1）离散简支梁为5单元6节点,那么我们得到的单元质量矩阵和刚度矩阵,如下所示：（2）总质量矩阵和总刚度矩阵如下：(3)简支梁的振动分析表1列出了简支梁的五阶固有振动频

7、率。从表中我们可以看出，有限元模拟分析方法和理论值在误差允许范围内是比较吻合的。计算得离散为五单元下的简支梁固有振动频率：计算值（）理论值()误差率（%）一阶固有振动频率0.01810.01810.0107二阶固有振动频率0.07250.07270.1657三阶固有振动频率0.16320.16450.7942四阶固有振动频率0.29010.29682.3037五阶固有振动频率0.45330.503210.9918离散为30单元的简支梁的振动模式如下图所示。一阶振动图像二阶振动图像三阶振动图像四阶

8、振动图像五阶振动图像六阶振动图像3.采用Matlab编写的程序代码%%利用有限元方法求解简支梁的振动问题%%clc;clearall;symsxlrhobtEA=b*t;I=b*t^3/12;n=input('Pleaseinputthenumberofdiscreteelementsn=');%输入离散化单元的数量n%%定义形函数N1=1-3*(x/l)^2+2*(x/l)^3;N2=(x/l-2*(x/l)^2+(x/l)^3)*l;N3=3*(x/l)^2-2*(x/l)^3;N4=((x