傅立叶变换与频谱分析

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1、傅立叶变换与频谱分析第二章傅立叶变换与频谱分析n离散信号的傅立叶变换及其特征n线性移不变系统的频率响应n频谱分析这一章介绍信号与系统的频域分析和频域处理的理论与方法。频域是区别于时域的另一种数据域，这里，信号以各种正弦波的叠加形式表现，有些谐波成分的能量较大，有些则较小。频域分析的目的是获取信号的正弦谐波分布范围以及各谐波的能量大小和延迟信息，从而更加全面地分析信号的特征，为进一步的处理、传输和分类识别等提供基础。频域分析的主要手段是傅立叶变换。离散时间信号通过傅立叶变换得到的频谱（spectrum）是周

2、期性频谱，是相应连续时间信号频谱的一种周期性延拓，并具有对称性。傅立叶变换得到的频谱是一个复数值，由实部和虚部构成，但一种更常用的形式是用幅度和相位表示，分别称作幅度谱（magnitudespectrum）和相位谱（phasespectrum）。实际应用中大部分情况感兴趣的是幅度谱，因为其包含了信号频域的主要特征信息，如频谱峰值和谷点等。2.1离散信号的傅立叶变换离散信号通过傅立叶变换得到信号的频域分布，也就是信号的频谱，反映了构成信号的频率成分和大小。2.1.1离散信号傅立叶变换的定义离散信号x(n)的

3、傅立叶变换定义如下式（2-1），简称为离散时间傅立叶变换（DTFT：DiscreteTimeFourierTransform）：¥jw-jwnX(e)=åx(n)e2-1n=-¥这里，w称为角频率，其与普通频率f和采样频率f的关系如下：s1傅立叶变换与频谱分析2pfw=2-2fsjw通过离散时间傅立叶变换DTFT，时域信号x(n)被转化为频域分布信号X(e)。一般，jwX(e)是一个随角频率w变化的复数，并且w分布在（-¥，+¥）之间。尽管x(n)在时域是离jw散分布的，但X(e)却是连续分布的，对任意一

4、个实数域的w都有相应的取值。信号x(n)的jw离散傅立叶变换X(e)在实际应用中的一个通常叫法是频谱，即一系列随频率而变化的值，反映了信号的频域分布和变化规律。jw离散时间傅立叶变换X(e)可以表示成（2-3）式或相应的极坐标形式（2-4），它们的关系由（2-5）和（2-6）表示。jwjwjwjwjwX(e)=Re[X(e)]+jIm[X(e)]=X(e)+jX(e)2-3rijwjwjqX(w)X(e)=

5、X(e)

6、e2-4jw2jw2jw

7、X(e)

8、=X(e)+Xi(e)2-5rjwX(e)-1iqX

9、(w)=tan{}2-6jwXr(e)jw（2-5）式的

10、X(e)

11、是信号x(n)的频率响应幅度谱，而（2-6）式的q(w)为相位谱。幅度X谱的值随频率的变化不会小于零，相位谱的主值随频率可以在（-p，+p）之间变化。例2-1：设一指数离散时间信号x(n)如下：ìn0.5n³0x(n)=í2-7î0n<0求其傅立叶变换，并画出[-p,+p]区间的幅度谱和相位谱图。jw解：运用公式（2-1）求X(e)得，¥¥jwn-jwn-jwnX(e)=å0.5e=å(0.5e)n=0n=02-811==-jw1-0.5

12、e(1-0.5cos(w))+j0.5sin(w)幅度谱为jw1

13、X(e)

14、=22(1-0.5cos(w))+(0.5sin(w))2-91=1.25-cos(w)相位谱为2傅立叶变换与频谱分析-10.5sin(w)qX(w)=tan{}2-100.5cos(w)-1幅度谱和相位谱随角频率w变化如图2.1和2.2所示。图2.1幅度谱图2.2相位谱2.1.2离散信号的傅立叶反变换jw（2-1）式将时域信号转换到频域，而如果给定某个信号的离散时间傅立叶变换X(e)，则可以通过下式（2-11）将其转换到时域，得

15、到相应的离散时间信号x(n)。1pjwjwnx(n)=òX(e)edw2-11-p2p因此，习惯上将（2-1）式称作离散时间傅立叶变换的正变换，而将（2-11）式称作离散时间傅立叶变换的反变换。两者之间的关系可以证明如下：将式（2-1）右边代入式（2-11）右边得下式：1¥1¥pp-jwrjwnjw(n-r)ò(åx(r)e)edw=åx(r)òedw2-12-p-p2pr=-¥2pr=-¥显然，当n¹r时，上式中的积分值为零。即3傅立叶变换与频谱分析pjw(n-r)1jw(n-r)jw(n-r)ò-pe

16、dw={e

17、w=p-e

18、w=-p}j(n-r)2-132sin((n-r)p)==0(n-r)仅当n=r时，（2-12）式中积分值为2p，即1¥p1jw(n-r)påx(r)òedw=x(n)òdw=x(n)2-14-p-p2pr=-¥2p因此，式（2-11）成立。例2-2：设一信号的频谱如下所示：jwì1-wc£w£wcX(e)=í2-15î0其它c求其相应的离散时间信号x(n)。解：运用（2-11）的DTFT反变换公式，得