傅立叶变换与频域分析

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1、第九章傅立叶变换与频域分析第一节傅立叶变换及其意义（FourierTransform）第二节快速傅立叶变换（FastFourierTransform）第三节傅立叶变换的性质（PropertiesoftheFourierTransform）第四节频域分析（FrequencyDomainanalysis）第五节频域分辨率和谱图表示（FrequencyResolutioninFrequencyDomain）第六节幅值平方相干函数（Magnitude-SquaredCoherentFunction）第七节频域滤波（FilteringinFr

2、equencyDomain）2第一节傅立叶变换及其意义（FourierTransform）9.1.1傅立叶变换的意义及各种变换对如果一个LTI系统的输入可以表示为周期复指数的线性组合，则输出也一定能表示成这种形式，并且输出线性组合中的加权系数与输入中对应的系数有关。图9.1各种信号的傅立叶级数和傅立叶变换对：傅立叶变换的意义把一个无论多复杂的输入信号分解成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能通过图9.1的关系表达成相同复指数信号的线性组合，并且在输出中的每一个频率的复指数函数上乘以系统在那个频率的频率响应值。一个域离散必然另外一

3、个域周期，相反的，如果一个域连续必然另外一个域是非周期的。59.1.2离散傅立叶变换（DFT）离散傅立叶变换的导出有多种方法，比较方便，同时物理意义也比较清晰，是从离散时间傅立叶变换（DTFT）和从离散傅立叶级数（DFS）入手。【例9-1】试计算常用信号和的N点DFT。解：旋转因子具有下列性质：周期性:共轭对称性:可约性:第二节快速傅立叶变换（FastFourierTransform）FFT是对计算DFT的快速算法的总称，FFT算法很多，最经典的一种就是库利－图基算法，包括基于时间抽选和频率抽选的以二为基底的FFT算法；由以二为基底

4、发展了任意基数的FFT算法。设序列的长度N＝2m，其中m为正整数，如果不满足该条件，可以通过补零方法来达到该条件。既然点长为偶数，就先把序列分成两组，偶数项为一组，奇数项为一组，分别用两个序列来表示：(9-1)则N点DFT运算也相应分为两组：根据的可约性，有，上式变成：其中分别为的N/2点DFT：(9-2)(9-3)利用的隐含周期性可以得到另外一半值.从而得到N点DFT分解计算式：(9-4)将式（9-4）用信号流图表示，如图9-2，左边表示输入，右边表示输出，支路上的箭头表示乘法运算，乘的因子只对有相位变换而没有幅度变换，所以被称为

5、旋转因子，由于此图像蝴蝶，故称为蝶形运算。一个蝶形运算只包括一次复数乘法、两次复数加法。图9-2蝶形流图12第三节傅立叶变换的性质（PropertiesoftheFourierTransform）设序列和都是N点长，它们对应的N点DFT分别为和,来讨论傅立叶变换的一些性质。1.线性a，b为任意常数。如果两个序列的长度不同则短的序列补零使得两个序列长度相同即可。132.时间翻转特性证明：这里需要补充3.序列的循环移位因而有序列的循环移位在第六章详细介绍过，这里简单给出循环移位的定义：14即序列的循环移位相当于频域的相移。根据时域和频域

6、的对偶性质，则频域的循环移位对应时域的调制：上式表示的含义为，先将序列以N为周期进行周期性延拓，得到，然后再进行移位，得到，最后取主值序列，得到仍然是一个N点长的序列。循环移位后的DFT为:因此，序列循环移位后的DFT为：154.循环卷积第六章介绍了循环卷积的计算，这里考虑时域循环卷积结果和频域的关系。设则有:通常把式（9-5）称为循环卷积，它的结果仍然是N点长的序列,循环卷积交换序列的先后次序得到的结果都相同。时域和频域的对偶关系，可以得到频域循环卷积对应时域相乘：(9-5)时域循环卷积对应于DFT的相乘，注意不要和线性卷积混淆，

7、两个序列线性卷积对应于DTFT的相乘：16式中表示循环卷积运算符，式中表示线性卷积运算符。循环卷积和线性卷积存在一定关系，由第六章知道，循环卷积是N点循环卷积结果，序列长度为N，线性卷积序列长度为2N－1。假设序列是两个序列的L点循环卷积，L>N，就需要对补零，然后以L为周期进行周期延拓,则它们的L点循环卷积为：(9-6)17【例9-2】设有两序列分别为求它们的线性卷积和5点循环卷积。式（9－6）表示循环卷积是线性卷积以L为周期进行周期延拓，然后取L点主值的结果。明显，如果线性卷积就等于循环卷积结果，如果,则循环卷积是线性卷积以L为

8、周期延拓的混叠。解：线性卷积,直接计算得到6点序列值：循环卷积，用表格法来计算，如表9.2所示。18表9.2表格法求循环卷积n11100020543713205452432059354320124054329我们利用上述结果来验证式（