高考数学新题赏析

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1、高考数学“新”题赏析518001　广东省深圳市滨河中学　陶磊为了给高考考生创造一个公平、公正的竞争环境，国家考试中心制定了“稳中求改，考查能力，积极创新”的高考命题原则；命题的指导思想已从“以知识立意”成功地转到“以能力立意”，实现了“多考一点想，少考一点算”的思维能力考查要求.随着新课程标准的出台，高考试题的命制也加大了改革创新的力度.纵观近几年的高考试题，可以发现高考试题中有许多背景新颖、设计别致的“新”题.如果对比、研究这类“新”题，我们发现有如下特点：新异性、探究性、前沿性、竞技性.下面以高考试题进一步加以说明，希望帮助你认识高考新题有抛砖引玉之

2、效！一、新异性高考题中出现了被称为“适应性”的试题，这类试题往往是新定义一个概念：如新定义一个函数，一个集合，一个数列，一类数；新定义一种符号，一种运算法则或给出处理问题的规则和要求等等，然后要求考生按新给的定义解题，或者设计出方案或给出实施方案.这类试题的共同特点就是“新”，通过公平的新背景试题来选拔思维敏锐、肯于钻研、具有开拓精神的考生，这试类题是充分考查了考生接受新事物、适应新情况的能力.例1、若记号“﹡”表示求两个实数a与b的算术平均数，则a﹡b=，则两边均含有运算符号“﹡”和“＋”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可能是＿＿＿＿＿

3、.分析：本题是一道背景新颖、结论开放的试题，解答的关键是正确地理解题设中的“新”定义和回答要求，如a+(b﹡c)=(a+b)﹡(a+c)；(a﹡b)+c=(a﹡c)+(b﹡c)；…均是符合题意的答案.二、探究性为了让探究能力考查在高考中落到实处，在高考试题中陆续出现了各种情形的开放性试题.如只给出条件，而结论隐而未白，或指出一个探索方向和范围，结论需自己探究后做出判断.求解这类“新”题，考生仿佛在攀登一座从未有人爬过的山，没有路，也没有向导，需要用自己的智慧和勇敢去开拓出一条路来.在解答中需要有更多的独立思考与探求，在解题方法上常常要出奇制胜、别出心裁，

4、有时要善于剖析实例，发现结论；有时要善于寻找反例，否定结论；有时要善于合情推理，想象结论；有时要善于运用原理，探索结论；有时要善于辩证思维，发展结论等等.例2、设函数f(x)=－ax，其中a>0.(1)、解不等式f(x)≤1；(2)、求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是单调函数.分析：本题看似常规、平淡无奇，但解答的思维过程却波澜壮阔.简洁4解答第1问的关键是要发现：1≤.对于第2问，由第1问的答案可知：当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x

5、0}；当a≥1时，原不等式的解集为{x

6、x≥0}.为此，我们可以大胆想象其结论：当a≥1时，函数f（x）在区间

7、[0，上是单调函数；当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[0，上不是单调函数.因为第1问已暗示：当0＜a＜1时，在区间[0，上有f（0）=f（）=1成立.由此可以看出，本题的两种情况均是考查函数的单调性，当a≥1时符合常规；当0＜a＜1时却是“反弹琵琶”，但却有异曲同工之妙.例3、（1）、给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；　（2）、试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（

8、3）、（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明.分析：从考查的数学知识来说，本题属于实验几何的范畴，首次在高考试卷中出现，新颖别致，特色鲜明.顺利解答本题的难点是解决好第（1）问.将正三角形纸片剪拼成一个正三棱锥，许多考生都知道，沿正三角形的三条中线折起即可拼得一个正三棱锥，如图（1）.对于将正三角形纸片剪拼成正三棱柱，需要设计在什么地方剪，怎样折，如何拼，思维更复杂，

9、解题方法也具有一定的开放性.方法一、如图2，将正三角形三个角上剪出3个全等的四边形，刚好拼成正三棱柱的一个底，余下部分按虚线折成正三棱柱的3个侧面和另一个底.剪出的四边形有一组对角为直角，较长的一组邻边边长为原正三角形边长的1/4.方法二、如图4，将正三角形剪为5块，图中的3个矩形为柱的侧面，小正三角形为一个底，两个小直角三角形接拼为另一个底，可接合成正三棱柱.其中，虚线的长度等于原正三角形的中线长.方法三、如图5，由剪拼三棱锥的方法得到启发：将正三角形剪为2个正三角形和1个平行四边形，2个正三角形分别为柱的两个底.再将平行四边形剪拼为一矩形，然后将矩形

10、剪拼为3个小矩形作为正三棱柱的三个侧面，4其中虚线的长度等于原正三角形的中线长.