利用对称性计算曲线积分与曲面积分

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1、实用标准文案利用对称性计算曲线积分与曲面积分摘要：借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，利用曲线、曲面关于坐标轴及坐标面得对称性，探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇（偶）函数，如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分。这种积分方法使得曲线（面）积分更为简便、快捷，同时，也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误。而第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题，因此利用对称性来计算较为困难，文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法，并证明了方法的可行性，并通过实例表明，此方法有时能起到简化计算的作用。

2、关键词：奇（偶）函数曲线积分曲面积分对称计算引：在高等数学的学习和研究中，各种积分的运算，有时会给我们带来较多的困难，而借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，定义在关于坐标轴及坐标面对称的曲线、曲面上的奇（偶）函数，利用它们的对称性计算曲线积分及曲面积分，可以使得曲线（面）积分更为简便、快捷。一、曲线积分（一）第一类曲线积分的对称问题定义1设函数定义在二维光滑曲线上，（1）若满足关系式=或=，则称为关于或的偶函数；（2）若满足关系式=-或=-，则称为关于或的奇函数；定义2设函数定义在三维光滑曲线上（1）若满足关系式

3、=或=或=，则称为关于或或的偶函数；（2）若满足关系式=-或=-或=-，则称为关于或或的奇函数；定理1设函数在二维光滑（或分段光滑）曲线上可积，且曲线关于（或）对称，则：（1）当偶函数时，=2（其中是位于对称轴一侧的部分）；（2）当是（或）的奇函数时，=0证设关于轴对称的光滑曲线（其中、分别是曲线位于精彩文档实用标准文案轴上、下两侧的部分）；则：=用曲线上关于轴对称点系分割，在上的小弧段中任取一点（，），在上关于对称于轴的小弧段中任取一点（，-），构造和式：+令：诸小弧段中最长者为，由于在上可积且=,于是（1）当是的偶函数，

4、即=时，=[+]=2=2（2）当是的奇函数，即=-时，=[+]={+}==0（证毕）定理2设函数在三维光滑或（分段光滑）曲线上可积，且曲线对称于（或或）坐标面，则（1）当为关于（或或）的偶函数时，有=2（其中是位于对称坐标面一侧的部分）；（2）当为关于（或或）奇函数时，有=0推论设函数在二维光滑（或分段光滑）曲线上可积，对称于和轴，则（1）当是关于和的偶函数时，有=4（其中是位于第Ⅰ象限中的部分）精彩文档实用标准文案（2）当是关于和中至少某一变量的奇函数时，有=0例1计算解：∵积分曲线既对称于轴又对称于轴，且被积函数=是的奇

5、函数y∴原式===0x注：除利用对称性之外，还用到了利用积分曲线方程化简被积函数的技巧。（二）第二类曲线积分的对称问题定理3设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为，（）。记,分别为位于轴的上半部分与下半部分，,分别在轴上的投影的方向相反，函数在上连续，那么（1）当关于为偶函数时，则=0（2）当关于为奇函数时，则=2证明依定理条件不妨设：，从点变到点：，从点变到点于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有=+=+=故（1）当关于为偶函数时，有精彩文档实用标准文案===0（2）当关于为奇函数时，有==2=

6、2注：对于有类似定理1的结论例2计算I=，其中我抛物线从点A（1，-1到点B（1，1）的一段弧解：依题设条件知，该曲线积分满足定理3，故有I=2=2=其中，：，从点0变到点1。关于曲线积分还有另一个对称性的结论是:定理4设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，奇方程为，（），记,分别为位于轴的右半部分与左半部分，,分别在轴上的投影方向相同，函数在上连续，那么（1）当关于为奇函数时，则=0（2）当关于为偶函数时，则=2证明依定理条件不妨设：，从点0变到点：，从点-变到点0精彩文档实用标准文案于是由对坐标曲线积分的性质及计算方

7、法有=+=+对右端第2个积分，令，有==因此有=+=故（1）当在上关于为奇函数时，有===0（2）当在上关于为偶函数时，有==2=2注：对于有类似定理4的结论例3计算I=，其中为（＞0）按逆时针方向从点A（，0）到点B（-，0）的上半圆周解可将原式改写为3个曲线积分的代数和，即I=-2-依题设条件分析知，等式右端第一、第二、第三个曲线积分满足定理4，故有精彩文档实用标准文案I==2=2=-2二曲面积分（一）第一类曲面积分的对称问题定理5设函数在光滑（或分片光滑）曲面上可积，且对称于（或或）坐标面，则（1）当是关于，和的偶函数

8、时，=8（其中是位于对称坐标面一侧的部分）（2）当是关于，和的奇函数时，=0推论设函数在光滑（或分片光滑）曲面上可积，且关于,,坐标面均对称，则（1）当是关于，和的偶函数时，=8（其中是在第Ⅰ卦限的部分）（2）当是关于，和中至少某一变量的奇函数时，=0例4计算，其中：平面，之间的圆柱面解：