初中数学第26章离散量的最大值和最小值问题竞赛专题复习

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1、初中数学第26章离散量的最大值和最小值问题竞赛专题复习第26章离散量的最大值和最小值问题26.1.1**某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分,他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高,如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？解析设前5场比赛的平均得分为，则前9场比赛的平均得分为由题设知，解得.所以前5场最多得分是（分）.再设他第10场比赛得了分，那么有解得y>28.故他第10场比赛得分229分.另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了

2、23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意.所以，他在第10场比赛中至少得了29分.评注在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题.26.1.2*从任意个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求的最小值.解析任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数.又1,2,•••,12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数.综上所述，至少需任取13个数才能满足题意.

3、26.1.3**从1,2,3,…，20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍.解析从1,2,…，20中取7,8,…，20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍.把］,2,…，20分成如下14组:{1,3,9},{2,6,18},{4,12},{5,15},{7},f8},{10},{11},{13},{14},{16},{17},{19},{20},从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍.26.1.4**如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称

4、他为棒小伙子•问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？解析取100个小伙子是这样的一种特殊情况.他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100个.26.1.5**代数式中，、、、、、、、、可以分别取1或者.（1）求证：代数式的值都是偶数；（2）求该代数式所能取到的最大值.解析（1）因为9所以，此代数式的值为偶数.（2）原式，要使原式取得最大值，则与取1与，与取1与.但是，若与的取值相同（1或），则与的取值也相同，有.若与的取值不同.则与的取值也不同，也有.所以，原式的最

5、大值为4.这时取，，，，.26.1.6**—个三位数除以43,商是.余数是（、都是整数）,求的最大值.解析由带余除法可知：一个三位数.①因为是余数，它必须比除数小，即W42.根据①式.考虑到等式右边是一个三位数，为此不超过23（因为24X43>1000).当时，因为43X23+10=999,此时为10.当时，可取余数，此时43X22+42=998.故当，时，值最大，最大值22+42=64.从1,2,1001这1001个正整数中取出个数，使得这个数中任意两个数的差都不是素数，求的最大值.解析设正整数被取出，贝都不能被取出.而，，三者中至多只能有一个被取出.所以连

6、续8个整数，，，3,4,,,中至多有两个数被取出，而1001=8X125+1,所以＜2X125+1=251.又1,5,9,1001这251个数满足题设条件.所以的最大值为251.26.1.8***从1,2,…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数、、()，都有.解析首先,1,14,15,…，205这193个数，满足题设条件.事实上，设、、()这三个数取自1,14,15,…，205,若,则；若,则.另一方面，考虑如下12个数组:(2,25,2X25),(3,24,3X24),…，(13,14,13X14),上述这36个数互不相

7、等，且其中最小的数为2,最大的数为13X14=182<205,所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来，于是，取出来的数的个数不超过205—12=193个.综上所述，从1,2,…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件.26.1.9***从］,2,3,16这16个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质的.解析首先，取出1,2,16中所有2或3的倍数：2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16.这11个数要么是2的倍数，要么是3的倍数.由抽屉原理知，这11个数中的任意三个数，都必有两个数同为2或3的倍数，它们的