离散量的最大值和最小值问题课件.ppt

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1、离散量的最大值和最小值问题离散量的最大值和最小值问题是数学竞赛中的热门话题，在数学竞赛中常常扮演着“押台”角色。所谓离散量的最大值和最小值，具体地说是指以整数，点，线，圆等离散量为背景，求满足某些条件的最大值和最小值。它的解法与求函数的最大值和最小值的方法是完全不同的，实际上，对于这类非常规的最值问题，尚无一般的方法，对不同的题目需用不同的策略和方法，因此难度较大。解离散量的最值问题，虽无一般方法，但我们通常是从这两方面考虑的，即论证与构造。先论证（求得）该量变化的上界或下界，然后构造出一个实例说明此上界或下界能达到。这样便求得了该离散量的最大值或最小值。但“构造”对学生来说是一个难点，常常需

2、要“创造”，这也是这类问题受命题者青睐的原因之一吧。下面我们通过“问题”来介绍解决这类问题的方法。方法1：枚举法方法2：逐步调整法方法3：估计，构造例题1设正整数n是75的倍数且恰有75个正整数因子（包括1和自身），求n的最小值。解：设n的质因数分解式为其中是n的不同质因数，是正整数，于是n的正整数因子的个数为所以所以n最多有三个不同的质因数，为了使n最小且是75的倍数，n的质因数取之集合{2，3，5}，且3至少出现1次，5至少出现2次，即：（4，4，2），（4，2，4），（2，4，4），（0，4，14），（0，14，4），（0，2，24），（0，24，2）。不难得到，当r1=r2=4,r3=

3、2时n最小，此时说明：本题通过n需要满足的条件，缩小n的取值范围，进而把所有情形列举出来比较大小，即得问题的解。有时这种简单易行的方法很管用。例题2解：由于把49写成10个正整数的和，写法只有有限种，所以一定有一种使得达到最大值，也一定有一种使得达到最小值。先求最大值：再求最小值：x1,x2,…,x10中任意两个数的差的绝对值不超过1。例题3某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6，第7，第8，第9场比赛中分别得了23，14，11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？解设前5次比赛的平均分为x，则

4、前9次比赛的平均分为由题设知解得x<17。所以前5场最多得分是5×17－1＝84（分）。再设他第10场比赛得了y分，那么有解得y>28。故他第10场比赛得分分，另一方面，当他在第6，第7，第8，第9，第10场比赛中分别得了23，14，11，20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意。所以，他在第10场比赛中至少得了29分。例题4从任意n个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求n的最小值。解任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数。又1,2,…,12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数。综上所述，至少需任取1

5、3个数才能满足题意。例题5有一个正方形的纸片，用剪刀沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；取出其中一部分，再沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；又从这三部分中取其中之一，还是沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分；……，如此下去，若最后得到了34个六十二边形和一些多边形的纸片，则至少要剪多少刀？解根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°，于是，经过k次分割后，可得（k＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k＋1）×360°。因为这（k＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°

6、，其余多边形有（k＋1）－34＝k－33（个），而这些多边形的内角和不少于（k－33）×180°。所以（k＋1）×360°≥34×60×180°＋（k－33）×180°，解得k≥2005。当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论。先从正方形上剪下一个三角形，得到一个三角形和一个五边形，再在五边形上剪下一个三角形，得到2个三角形和一个六边形，……，如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和一个六十二边形。再取出33个三角形，在每个三角形上各剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个

7、三角形。于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）。说明我们是先估计（剪的次数）的下界，然后再说明这个下界（2005）是可以取到的，这里给了一个具体的剪法。注意，这个具体的剪法是必不可少的。另外，本题中估计的下界，用的是“算两次”方法，即从两个不同的方面去考虑同一个量，一方面，……，另一方面，……，结合两个方面，可以得到一个等式，或者不等式，进而得到我们需要的结果。“算两次”是解最大值和最