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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn10.8线面角与线线角【知识网络】1、异面直线所成的角：（1）范围：；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：；（3）求法；3、一些常见模型中的角之间的关系。【典型例题】例1：（1）在正方体中，下列几种说法正确的是（）A、B、C、与成角D、与成角答案：D。解析：A1C1与AD成45°，D1C1与AB平行，AC1与DC所成角的正切为。（2）在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为（）A、2个B、4个C、6个D、8个答案：B。解析：平面A1ACC1，平面BB1D1
2、D，平面ABC1D1，平面A1D1CC1。（3）正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（）A．90ºB．60ºC．45ºD．30º答案：B。解析将BC1平移到E1F即可。（4）在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系是。答案：AC⊥BD。解析：过A作AH⊥平面BCD，垂足为H，因为CD⊥AB，BC⊥AD，所以CD⊥BH，BC⊥DH，故H为△BCD的垂心，从而BD⊥CH，可得BD⊥AC。（5）点AB到平面距离距离分别为12，20，若斜线AB与成的角，则AB的长等于_____.
3、答案：16或64。解析：分A、B在平面α的同侧和异侧进行讨论。例2：．如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。 （I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论。答案：（I）连结DF，DC ∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC ∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C ∴DF为EF在平面BB1C
4、1C上的射影， 在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，＝＋DC2＝10a2， ＝B1F2＋＝5a2， ∴＝DF2＋，∴DF⊥FC1FC1⊥EF （II）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角 在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝·＝，ABCDP ∴＞，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上 故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。例3：如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明:侧面PAD⊥
5、侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小;答案：(Ⅰ)证:∵侧面PAB⊥底面ABCD,且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,在矩形ABCD中,BC⊥AB，.∴BC⊥侧面PAB.(Ⅱ)证:在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥侧面PAB,∴AD⊥侧面PAB.又AD平面PAD,∴侧面PAD⊥侧面PAB.(Ⅲ)解:在侧面PAB内,过点P做PE⊥AB,垂足为E,连结EC,∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,PE⊥AB,∴PE⊥底面ABCD.于是EC为PC在底面ABCD内的射影.∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角.在△PAB和△BEC中,易求得PE=,EC=.在Rt△PE
6、C中,∠PCE=45°.例4：设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。如图求直线PB和平面PAC所成角的大小.答案：【课内练习】1．若平面外的直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）答案：D。解析：a和α平行，a和α斜交。2．在正方体ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，则直线OM()A是AC和MN的公垂线B垂直于AC但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD与AC、MN都不垂直答案：A。解析：易证OM⊥AC，OM⊥MN。3．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与
7、SC所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C。解析：连AC、BD交于O，连OE，则OE//SC.4．异面直线a,b所成的角为，过空间一定点P，作直线L，使L与a,b所成的角均为，这样的直线L有条。答案：三条。解析：如换成50°，70°呢。5．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________。答案：600。解析：以
