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1、线线角和线面角 [重点]：确定点、斜线在平面内的射影。 [知识要点]： 一、线线角 1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角. 2、范围:(0,] 3.向量知识： 对异面直线AB和CD (1)； (2)向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB和CD的夹角； (3) 二、线面角 1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,). 2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；
2、 直线垂直平面它们所成角为， 3、范围:[0,]。 4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。 5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 6、向量知识 （法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角. [例题分析与解答]
3、 例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角. 分析：利用，求出向量的夹角,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角. 解：∵，， ∴ ∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 所以异面直线BA1与AC所成的角为60°. 点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示. 例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD//BC，AB=BC
4、=a,AD=2a,且PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角. (1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD； (2)求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示） 解法一： （1）证明： ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥AB， ∵AD⊥AB， ∴AB⊥平面PAD， ∴AB⊥PD，又AE⊥PD， ∴PD⊥平面ABE， ∴BE⊥PD. (2)解：设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图（1）） 易知， ∴BH//CD. ∵G、H分别为ED、AD的中点， ∴HG//AE 则∠
5、BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角， 而，， ， 在ΔBHG中，由余弦定理，得， ∴. ∴异面直线AE、CD所成角的大小为. 解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz， 则，，， ，， （1）证明： ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解： ∵ ∴ ∴异面直线AE、CD所成角的大小为 例3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1与DF1所成角的余弦值. 解：以D为坐标原点，为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz， 设正方体的棱长为4，则 D(0,0,0)，B
6、(4,4,0),E1(4,3,4),F1(0,1,4). 则， ∴， ∵. ∴ ∴BE1与DF1所成角的余弦值为 点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。 例4．在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B.已知点A和点B到棱的距离分别为2和4，且线段
7、AB
8、=10. (1)求直线AB和棱a所成的角； (2)求直线AB和平面Q所成的角 解：如图，作AC⊥a，
9、BD⊥a，垂足分别为C，D 分别以的单位向量为空间的基底 过C，B分别作BD，a的平行线，交于E点， ∴CE⊥a，从而，得：∠ACE就是二面角P-a-Q的平面角， ∴, 依题设： 设 (1) ∵, 又∵,∴ 展开： ∵, ∴m2+20+8=100，从而得 ∴ ∴异面直线与a所成的角为. (2) 作AF⊥EC，交EC的延长线于F， ∴a⊥平面ACE，aÌ平面Q， ∴平面ACE⊥平面Q， 从而得：AF⊥平面Q，连结FB， 则∠ABF就是AB与平面Q所成的角， ∵上的射影为， ∴， ∴， 在RtΔAF
10、B中，， ∴直线AB和平面Q所成的角为：. 反馈练习： 1.过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是（ ） A.1个 B.无数个 C.一个
