奥数：第讲杂题第5讲

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1、第10讲杂题第05讲逻辑推理之二例1甲、乙、丙、丁与小强5位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问小强赛了几盘?答案2盘．分析先从甲人手，这道题就可以比较轻松地推理出对局情况．详解甲因为赛了4盘，所以甲与其他每个人都赛了一场．而此时，丁只与甲赛了一场，不再与别人比赛．如果乙要赛3场，对手除了丁，他必须和丙、小强各赛一场．这样我们得到了对屙隋势图10—1，5个人用5个点表示，两人间比一盘就用一条线将两人所代表的点连起来．此时，甲、乙、丙、丁分别赛了4、3、2、1盘．所以，正确答案为：小强赛了2盘．评

2、注本题比较简单，应该快速准确地做出正确答案．另一方面，对于推断比赛情况的题目，就应运用点线图的方法来解决．例2甲、乙、丙、丁4个队参加足球循环赛，即每两队之间都比赛一场．现在甲、乙、丙的比赛情况如图10—2所示．请由此确定甲与丁的比分、丙与丁的比分．答案甲与丁是3：2，丙与丁是3：4．分析本题做出答案应分三步：第一步找出四队的对阵形势；第二步确定各场比赛的胜负关系；第三步求出每场比赛比分．详解首先，根据甲、乙、丙三队已赛场数及丁与甲、丙两队均有比赛确定对阵情势．乙赛了3场，则对手为甲、丙、丁．题目所求为甲与丁、丙与丁比分，则丁与甲、丙都赛了两场．由此得到对阵形势

3、，如图10—3．然后，考虑各场比赛胜负关系．先考虑甲、乙间的这一场．显然甲胜的比赛不是与乙的比赛。而是甲、丁间的比赛．甲、乙间以平局告终．那么，乙胜的2局分别是与丙与丁的比赛．而丙一场未胜，因此丙在与丁的比赛中输掉．因此，得到各场胜负关系图10—4，其中“A队-B队”表示A队胜了B队，“A队一B队”表示两队比赛为平局．最后，考虑各场次的比分．乙队进球为2，失球数为0，战绩是二胜一平，则两场胜利的比赛全是“1：0”的胜利，而平局为“0：0”．甲在与乙的比赛中是“0：0”，总进球数为3，失2球．所以，甲对丁的比赛为甲“3：2”战胜丁．丙在与乙的比赛中失掉一个球，未进

4、球，总进球数为3，失球数为5，所以丙丁之间的比赛是丁4：3胜出．这样，各场比赛分数如图10—4所示．所以，甲与丁是3：2，丙与丁是3：4。评注本题解题的顺序一定要注意．对于题目的条件也要相应地分为三步来用，而不应一下子全面处理．例3甲、乙、丙、丁4个队举行足球循球赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．已知：①比赛结束后4个队的得分都是奇数；·②甲队总分超过其他各队，名列第一；③乙队恰有两场平局，并且其中一场是与丙队比赛．那么丁队得了多少分?答案3分．分析三场比赛后得分是是奇数，则每队得分只能为1、3、5、7、9．得9分是3胜，

5、7分是2胜1平，5分是1胜2平，3分是1胜2负或3平，1分是1平2负．这样，再根据题目条件，就比较容易分析出题目答案了．详解先考虑乙队．根据条件③，乙队是2平，所以为保证乙得分是奇数，乙得5分，2平1胜．再考虑甲队．乙队2平1胜，所以甲未胜乙，因而甲不是9分，而甲又比乙得分高，所以甲是2胜1平的7分，甲、乙之间是平局．这样甲是与乙平，胜了丙、丁；乙是与甲、丙平，胜了丁．现在丙是1平1负，得1分；丁是2负，得0分．还剩丙、丁间的比赛没有确定胜负．为保证丙、丁得分均为奇数，只能丙负于丁．这样，甲、乙、丙、丁的胜负关系如图10-5所示．甲、乙、丙、丁分别得7分、5分、

6、1分、3分．所以，本题答案为丁队得3分．评注本题的关键是一个队得奇数的话，所赛3场的胜负关系就被限制在一个小范围里了．再加上乙的得分很高，而甲又是第一，由此得出本题答案．例4已知A、B、C、D、E、F这6位同学参加数学竞争赛，其中有两人得了满分，但不知是哪两个人．在同学们的猜测中，有下列5种说法：①A和C；②B和F；③B和E；④A和F；⑤A和D．但是老师说，在这5种说法中，有4种猜对了一半，有一种都猜错了．那么是哪两位同学得满分?答案A，E．分析5种说法中，A出现的次数最多，所以我们可以对A是否得了满分进行分析．详解如果A没有得满分，则①、②、⑤不可能全是猜对了

7、一半，否则C、D、F均为满分．所以猜错的说法一定在①、④、⑤当中，但是，两个满分也一定在C、D、F中．可这样，③中的B、E就也猜错了．这时，有两种说法都猜错了．这种情况不成立，因此A一定得了满分．当A得了满分时，C、D、F都没有得满分，则错了的说法只能是②和③，而另一个得满分的是：B、E之一．这就说明③是猜对了一半，②猜错了．所以，另一个得满分的是E．评注本题可以对A进行分析，也可对B进行类似的分析．另一方面，6个人中取两个人的方法为：所以，可以对15种情况一一验证，来找出惟一符合题目条件的一对．有兴趣的读者可以自己试一试．例5一次考试共有10道判断题，正确的画

8、“√”，错误的画“×”．