小学《数学思维与方法》校本课程教材

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1、数学思维与方法目录第一讲观察能力的训练1第二讲联想能力的训练4第三讲问题转化的训练(1)7第四讲问题转化的训练(2)11第五讲开拓性思维训练实例(1)14第六讲开拓性思维训练实例(2)17第七讲开拓性思维训练实例(3)21第八讲数学思维过程(1)25第九讲数学思维过程(2)27第十讲解题熟悉化策略30第十一讲解题简单化策略34第十二讲解题其他策略35第一讲观察能力的训练任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。虽

2、然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。例1已知a,b,c,d都是实数，求证yja2+b2+a/c2+J2>J(d-c)2+(b_刖.思路分析从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。证明不妨设A(a,b),B(c,d)如图1—2—1所示,则AB=J(a-c)2+(/?-d)?.OA=a2b2,B=7c2+

3、6/2,在中，由三角形三边之间的关系知:OA+OB>AB当且仅当0在AB上时，等号成立。因此，』cr+/?-+Jc?+d~nJ(a-c)~+(b-d)~.例2已知3x2+2y2=6x,试求x2+y2的最大值。解由3x2+2y2=6x得232oy*"=——x+3x.2•・•b>o?A-~^2+3x>0,.

4、+寸，然后求极值点的兀值，联系到/>0,这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。例3已知二次函数f(x)=ax2+/zx+c=0(g>0),满足关系/(2+x)=/(2-x),试比较/(0.5)与/(龙)的大小。思路分析由已知条件/(2+x)=/(2-x)可知，在与x=2左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线兀=2对■称，又由已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。解(如图1-2-2)由/(2+x)=/(2-x),它与x=2距离越近的点，函数值越小。知/(兀)是以直线x=2为对称轴

5、，开口向上的抛物线2-0.5>2-tt/(0.5)>f(7r)第二讲联想能力的训练联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。例如，解方程组I.E=-3这个方程指明两个数的和为2,这两个数的积为-3。由此联想到韦达定理，％、y是一元二次方程t2-2t-3=0的两个根,诃;二或；二"联想可使问题变得简单。例2在AABC中，若ZC为钝角，则的值(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能确定思路分析此题是在

6、ABC中确定三角函数tgA-tgB的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式tg(A+B)=曲+咖可得1-tgA-tgB下面解法。解VZC为钝角，・・・fgCvO.在ABC中/A+B+C=71.*•C=龙一(A+B)且A、B均为锐角，.•.tSC=tS[7T-(A^B)]=-tS(A^B)=-tgA+tsB<0.1-tgA-tgB•・•tgA>O.tgB>0,・・.1-tgA•tgB>0.即/gA•tgB<1.故应选择(B)例3若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,证明：2y=x4-z,思路分析此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的

7、特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。证明当x-yHO时，等式(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0可看作是关于f的一元二次方程(%-y)r+(z-x)t+(y-z)=0有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1,根据韦达定理就有：—~-=1艮卩2y=x+zx—y若兀—y=0,由已知条件易得z—X=0,即x=y=z,显然也有2y=x+z.例4已知心b、c均为正实数，满足关系式a2+b2=c2,又"为不小于3的自然数，求证:a”+b”

8、c可构成直角三角形的三边，进一步联想到