线性系统的可控性和可观性

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1、线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。关键词:线性系统；可控性；可观性Linearsystemcontrollability

2、andobservabilityHouShiboLiuYingruiWang1in1inLinIluanAbstact:Controllabilityoflinearsystemsandcontrolisthemostbasicconceptsoflinearsystems.Thispaperstartedfromthisbasicconcept,introducedtheformoflinearsystemcontrollabilityandobservabi1ityofthestandardnonnalform,andthes

3、ystemcontrollabilityandobservabi1itycriterionforadetai1eddescription.Thisstudyisbeneficialtothelinearsystemcontrollabilityandobservabilityofknowledgehaveabetterunderstandingofthefurtherstudyofmoderncontroltheoryprovidesasolidfoundation,throughsummarizedtherelevantknow

4、ledgeforthefutureoflearningStudyprovidesagoodmethod.Throughwhichalargenumberoflearningandapplicationofadvancedmathematics,appliedmathematicscanimproveawarenessoftheproblemsolvingandcapacity-related・Keywords:Linearsystem；Controllable；Observabi1ityo引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者

5、的关心。那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的状态上，以通过对系统输出在一段时间内的观测，能否判断（识别）系统的初始状态。这便是控制系统的能控性与能观性问题。控制系统的能控性及能观性是现代理论屮很重要的两个概念。在多变量最优控制系统屮，能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题，如杲所研究的系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的山。1可控性能控性所考察的只是系统在控制作用班/）的控制下，状态矢量兀（r）的转移情况，而与输无关，所以只需从状态方程的研究出发即可。1.1

6、线性连续定常系统的可控性定义线性连续定常系统x=AxBu(1)如果存在一个分段连续的输入w(r),能在有限时间区问IQ-I内，使系统由某一初始状态x(r0),转移到指定的任意终端状态x(tf),则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的⑺。1.2线性定常连续系统的可控性判据线性连续定常单输入系统x=Ax+bu(2)其可控的充分必要条件是ftlA,〃构成的能控性矩阵M=bAbA2b…An-'b(3)满秩,即rankM=no否则当rcinkM

7、完全能控的条件，在不失一般性的条件下，假设终端状态兀(卩)为状态空间的原点，并设初始时间为零，即/。=0。方程(1)的解为x(r)=eAlx(0)+£eA{,~T]bu(T)di由能控性定义，可得x(tf)=0=e4Z/x(0)+PeA{ltr}bu(T)dT•Jo即x(0)=一『e-ATbu(T)dT(4)注意到幺"「可写成e~AT=工匕")屮(5)^=0将方程(5)代入方程(4)中，可得工(0)=_£屮町：ak(T)u(r)dr(6)eo设ak(r)u{T)dT=/3k那么方程(6)变为兀(0)=-丈屮皿•k=0炕=-bAb

8、…Anib队(7)要是系统能控，则对任意给定的初始状态兀(『0)，应能从式(7)解出0(),…,0心来,因此，必须保证M=bAbA2b…An~lb的逆存在，亦即其秩必须等于斤。同理，可以证明，对于多输入系统x=Ax+Bu(8)其能控的充分必要