高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2_3 函数的奇偶性与周期性课件 文 北师大版

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1、§2.3函数的奇偶性与周期性基础知识　自主学习课时作业题型分类　深度剖析内容索引基础知识　自主学习1.奇函数、偶函数的概念知识梳理图像关于对称的函数叫作奇函数.图像关于对称的函数叫作偶函数.原点y轴判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称.(2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠

2、－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数.2.判断函数的奇偶性－f(x)f(x)(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫作f(x)的最小正周期.3.周期性f(x＋T)＝f(x)最小正数最小1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(

3、x

4、

5、).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.知识拓展2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点.()(2)

6、若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.()(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()思考辨析×√√√√1.(教材改编)下列函数为偶函数的是A.f(x)＝x－1B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝2x－2－xD.f(x)＝2x＋2－x考点自测答案解析D中，f(－x)＝2－x＋2x

7、＝f(x)，∴f(x)为偶函数.2.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于A.－2B.0C.1D.2答案解析f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为A.－1B.0C.1D.2答案解析∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.4.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x<0时，f

8、(x)＝________.答案解析x(1－x)当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x).又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x(1－x).5.(2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

9、，也不是偶函数的是答案解析选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C中的函数是偶函数；选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)判断函数f(x)＝的奇偶性.解答当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x).∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x).∴函数f(x)为奇函数.思维升华(1

10、)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图像作判断.跟踪训练1(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是A.y＝B.y＝lg

11、x

12、C.y＝(x－1)2D.y＝2x答案解析选项B中，函数y＝lg

13、x

14、的定义域为{x

15、x≠0}且lg

16、－x

17、＝lg

18、x

19、，∴函数y＝lg

20、x

21、是偶函数.(2)已知