高考数学大一轮复习第七章不等式7_4基本不等式及其应用课件文北师大版

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1、§7.4基本不等式及其应用基础知识 自主学习课时作业题型分类 深度剖析内容索引基础知识 自主学习(1)基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.知识梳理a≥0,b≥0a=b2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥(a,b∈R).2ab2(3)ab≤(a,b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a=b.(1)设a≥0,b≥0,则a,b的算术平均数为_____,几何平均数为______.3.算术平均数与几何平均数(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数它们的几何平均数;也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项.不小于(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当时,x

2、y有最值____.(简记:和定积最大)x=y大4.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当时,x+y有最值.(简记:积定和最小)x=y小不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔_____________;若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)A成立⇔;知识拓展f(x)min>A(x∈D)f(x)maxA(x∈D)若f(

3、x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D;不等式f(x)0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为A.80B.77C.81D.82考点自测答案解析∵x>0,y>0,当且仅当x=y=9时,(xy)max=81.答案解析答案解析A.q=rpD.p=r>qf(x)=lnx在(0,+∞)上是增加的

4、,4.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为______.答案解析5.(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是____m2.答案解析25设矩形的一边为xm,则另一边为×(20-2x)=(10-x)m,当且仅当x=10-x,即x=5时,ymax=25.题型分类 深度剖析当且仅当3x=4-3x,即x=时,取等号.题型一 利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式答案解析1答案解析因为x<,所以5-4x>0,答案解析例2已知a>0,b>0,a+b=1,则的最小值为___.命题点2通过常数代换法利用基本不等式答案解析4∵a>0,b>0,a+b=1

5、,引申探究解答当且仅当a=b=时,取等号.解答解答∵a+2b=3,思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.跟踪训练1(1)(201

6、6·西藏民族学院附中期末)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是答案解析∴3x+4y的最小值是5.当且仅当y=时等号成立,∴(3x+4y)min=5.(2)已知x,y∈(0,+∞),2x-3=()y,若(m>0)的最小值为3,则m=______.答案解析4由2x-3=()y,得x+y=3,解得m=4.题型二 基本不等式的实际应用例3某厂家拟在2016年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产

7、品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;解答由题意知,当m=0时,x=1(万件),∴1=3-k⇒k=2,(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?∴y≤-8+29=21,解答故该厂家2016年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为2

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