液滴高度问题

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1、2013年河南科技大学数学建模选拔赛承诺书我们仔细阅读了数学建模选拔赛的规则.我们完全明口，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题冇关的问题。我们知道，抄袭别人的成杲是违反选拔规则的，如果引用别人的成杲或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献屮明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：B队员签名：1.李拴拴3.王文东日

2、期：2013年8月19H2013年河南科技大学数学建模竞赛选拔编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）:评阅记录（评阅吋使用）:评阅人评分备注液滴高度问题摘要木文针对理想固体平面上一定接触角的液滴高度随体积变化的规律问题，从物理化学、流体力学和软体物理学相关知识入手，综合考虑润湿情况、液滴重力、亲水性等不同情况下的形变，根据杨氏方程方程、铺展系数、拉普拉斯方程，通过对接触角、表面张力、液体密度的分析，对受到不同主导力的液体建立了沾附润湿下的球冠模型和铺展润湿下的液垫模型，从大量的数学推导中最终得到饱和高度和极限高度的方程，并通过几何原理推导出

3、液滴直径及饱和体积的表达式，取接触角0从10。到180。每间隔10。计算出对应的结果。在完全不浸润的的情况下接触角为180°,此时液滴在理想情况下为球体，考虑到重力作用导致的液滴向自身的塌陷，模型借用量纲分析建立了符合条件的准球体模型，并使用数学软件绘制出其正规轮廓图。这个模型最大的特色在于其考虑到表面张力与重力相互影响的问题，针对具体情况建立不同模型。但是，本文对问题考虑的全血性有待加强，如果可以综合考虑空气温度，液体纯净度，固体表面粗糙度，模型将更加精确，从而得出更接近实际情况的结果。关键词：接触角表面张力饱和高度极限高度拉普拉斯定律

4、一、问题重述在物理实验中，将不同体积的液滴放在一种固体材料的水平平面上，由杨氏方程可知：液滴与固体表面的接触角&不变。在测量液滴静态下的高度时，发现随着液滴体积的递增，液滴的高度随之递增,直到液滴体积达到某个体积时，液滴高度达到最大值，此时的液滴休积即为饱和体积，对应的高度最大值称为饱和高度。当液滴体积从饱和体积开始继续递增时，液滴的高度开始随之递减，且随体积的增大递减量越来越小，直到趋于不变，此时的液滴高度称为极限高度。针对上述现象，需要针对不同液体，对一般的接触角处［0,兀］建立数学模型，得岀出饱和高度、极限高度、液滴直径及饱和体积的

5、表达式，取接触角&从10。到180。每间隔10。计算岀对应的饱和高度与极限高度的比、液滴直径及饱和体积，将最终计算的结果均舍入到四位有效数字列表表示。当接触角为180。时，用上述模型得出液滴饱和体积、饱和高度及其他相关参数，画出此时的正规轮廓图。二、问题分析对于水平固体平面上的液滴，其形态主要受表面张力与重力作用，表面张力使液滴有聚合趋势，重力作用使其向周围扩散，从而形成一个类似于凸平透镜的液垫。当表面张力占主导地位时，由于液滴在张力作用下总是力图使自己保持最小的表面积，结合几何知识，可将液滴模型表面可简化为球冠状。对于一定种类的液体，其

6、接触角与表面张力是定值，需要对接触角、表面张力、及球冠尺寸等量的力学关系和几何关系进行深入分析，从而得出球缺高度与与已知量的关对于问题一，可分为两个阶段，根据具体情况讨论。第一阶段分两种情况：1、根据对问题的分析和生活常识的理解，得出当液体密度越大时（如水银），分子间距越小，分子间作用力越强，表面张力和液滴内部凝聚力越强，越容易形成球缺，因此在达到饱和体积前将其视为球缺，建立模型求解。此外，由于氢键存在，水和低浓度水溶液溶液分子间作用力较大，也使用该模型求解。2、当液体密度较小时，相对应表面张力较小，重力作用起主导作用，此时液滴由于重力作

7、用向下塌陷形成液垫，可以根据势能关系、铺展系数等建立模型。第二阶段：液体达到饱和体积后，可以从拉普拉斯定律入手考虑，结合热力学和流体力学相关知识建立模型，求得极限高度。对于问题二、三，在问题一建立三个模型的基础上，得出直径与饱和体积的表达式，用matlab写出运算程序，将接触角&从10。到180。每间隔10。代入计算，并验证可行性与特殊角度的准确性。并以此计算0为180。时的相关参数，从而画出此时饱和体积下液滴的正规轮廓图。三、条件假设1、固体材料表面为理想表面。2、固休材料表面绝对水平，与海平面重合。3、液滴绝对纯净。4、温度始终保持室

8、温20摄氏度。5、压力始终保持一个标准大气压。6、重力加速度取9.78m/so7、实验环境绝对纯净且无风。四、符号说明e:接触角:润湿功s:铺展系数:固气界面自rti能r,:液气界面口由能:固