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1、东北大学秦皇岛分校课程名称：拓扑学基础（答案）试卷：A考试形式：闭卷装题号—*二三总分得分阅卷人授课专业：数学与应用数学考试日期:2011年5月26口试卷：共丄页一、填空题：（每空2分，共30分）1.数字10的连通分支的个数是_,数字6的连通分支的个数是_。2.数字8的割点的个数是一1。数字4的割点的个数是一无穷。3.汉字“王”的指数为1的点的个数为2,指数为2的点的个数为无穷,指数为3的点的个数为2,指数为4的点的个数为14.给实数集赋予余可数拓扑，则有理数集的导集是一空集,闭包是有理数集。5.设X={aM，写出5个拓扑平凡拓扑，离
2、散拓扑，{X,0,{d}}_,—{X,0,{c}}_,_{X,0,{b}}_。二、问答题:（共30分）1.举例说明任意多个闭集的并未必是闭集。（5分）答：给实数集合赋予欧氏拓扑，则每个单点集合都是闭集。设A=（0,l）,则显然A不是闭集，但A=Ut{x}，是闭集的并。注：例子不唯一，正确即可。1.叙述第二可数空间的定义并给出一个不是第二可数空间的例了。（5分）答：若拓扑空间具有一个可数拓扑基，则称它为第二可数空间。（2分）给实数集合赋予离散拓扑，则每个单点集都是开集，且毎个单点都不是异于自身的非空集合的并，从而每个单点集都应在基屮，即
3、不存在可数的拓扑基，这说明不是第二可数空间。（5分）注：例子不唯一,正确即可。2.叙述％空间、7；空间、7；空间的定义。给出不是空间的例子，以及不是7；空间的7；空间的例了。（10分）答：设X是拓扑空间，若对其屮任意两点都存在其屮一点的开邻域不包含另外一点，则称其为％空间；（2分）若对其屮任意两点都存在每一点的开邻域不包含另外一点，则称其为7；空间；（4分）若对其中任意两点都存在各口的开邻域使得这两个开邻域不相交，则称其为7；空间；（6分）不少于两点的平凡空间不是％空间；（8分）给实数集赋予余有限拓扑，则它是7；空间，不是7；空间。（
4、10分）注：例子不唯一，正确即可。4.简述Mobius带与平环的区别。（5分）答：（1）平环的边界是两条封闭曲线，而Mobius带的边界是一条。学号装（2）平环是双侧的，而Mobius带是单侧的。（3）平环沿屮线割开可将其分成两个平环，而沿Mobius带的屮线将其割开得到的还是一条带了。（4）平环是可定向的,而Mobius带是不可定向的。三、证明题：（任选四个小题，每小题10分，共40分）1.叙述并证明连续映射的粘接引理。答：粘接引理设是拓扑空间X的一个有限闭覆盖，若f:X^Y在每个注：（1）区别不仅此四条，正确即可。（2）每答对一条
5、2分,答对3条满分。5.谈谈你对拓扑学的思想、理论的认识。（5分）注：无唯一标准答案。人上的限制都连续，则/是连续映射。（4分）证明：只要验证丫的每个闭集的原像是闭集。（6分）设〃是Y的闭集，记办「是/在4上的限制。贝U厂（B）=U；L（厂（8分）由/•连续，好（B）是人中的闭集，又A,是X的闭集，所以”（B）是X中的闭集。所以广（B）作为有限个闭集的并也是闭集。（10分）2.证明拓扑空间是7；空间当口仅当单点集是闭集。证明「'=>”设X是7；空间，对于任意的pwX,及任意的qeX-{p}f由X是7；空间，存在q的开邻域N不包含点”。
6、（2分）所以NuX-3,这说明X-{p}是开集，也即{〃}是闭集。（5分）“u”Vp,qwX,p主q,贝IIX-{”},X-{q}均为开集，且为满足7；空间所要求的开邻域。（10分）装6.证明连通空间在连续映射下的像是连通的。定义：拓扑空间Z间的连续映射称为同胚映射，若它是——对应且它的逆也是连续的。（4分）证明：设X是紧空间，Y是7；空间，是——连续映射。VAuX,4是闭集。EbX是紧空间，而紧空间的闭了集是紧的，从而A是紧的。（6分）因为紧空间在连续映射下的像是紧的，所以/（A）是紧的。（7分）乂Y是7；空间，而7；空间的紧子集是
7、闭的，所以/（幻是闭的。（9分）这说明/是闭映射。从而是同胚。（10分）证明：设X是道理连通空间，4是X的既开乂闭的非空子集，设/1HX。则可取x",yeX-Ao（4分）令q:/tX是连接兀与y的道路。则A在Q下的原像B在/中既开又闭。（6分）从而B=/。（8分）这说明q（/）uA。这与&:/tX是连接兀与y的道路矛盾。（10分）1.证明紧空间的闭子集紧致。证明：设A是紧空间X的闭集，设丿是一个指标集，Cl=｛VaaeJ｝是A的一个开覆盖。（2分）因为A是闭集，所以X-A是开集。（4分）从而QU（X-A）是X的开覆盖。（6分）因为X
8、是紧空间，所以任一开覆盖有有限的子覆盖。（8分）设子覆盖为｛匕,X-A,心1,…,川。从而也丿=1,...’｝是A的一族有限的子覆盖。这说明A是紧的。（10分）证明：设X是连通空间，f:X^Y是连续映射。设〃是/（X）的
