奥数：小学奥数系列：第九讲整数的分拆

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1、第九讲整数的分拆例1小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示．他们每人打了两发子弹．小兵共打中6环，小军共打中5环．又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发．你知道他俩打中的都是哪几环吗?解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6＝1+5＝2+4；同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5＝l+l＝2+3．由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：小兵打中的是l环和5环，小军打中的是2环和3环．例2某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分

2、、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款?买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢?他又将如何付款?解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆．7＝1+2+49＝1+810＝2+813＝1+4+814＝2+4+815＝1+2+4+8∴外星人可按以上方式付款．例3有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好．现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案．解：可以这样想：因为200的个位数是0，

3、又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8．这样由8×5＝40及200－40＝160，可知再由两个8作十位数字可得80×2＝160即可．最后得到下式：88+88+8+8+8＝200．例4试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和．解：1＝l×l＝1－1(特例)4＝2×2＝2==1+39＝3×3==3＝1+3+516＝4×4＝4＝1+3+5+725＝5×5＝5＝1+3+5+7+936=6×6=6＝1+3+5+7+9+1149＝7

4、×7＝7＝1+3+5+7+9+11+1364＝8×8＝8＝1+3+5+7+9+11+13+1581＝9×9＝9＝1+3+5+7+9+11+13+15+17100＝10×10＝10＝1+3+5+7+9+11+13+15+17+19．观察上述各式，可得出如下猜想：一个完全平方数可以写成从l开始的若干连续奇数之和，这个平方数就等于奇数个数的自乘积(平方)．检验：把11×11＝121，和12×12＝144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述猜想．121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

5、+2l144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23结论：上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的．例5从l～9九个数中选取，将1l写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法?解：将1～9的九个自然数从小到大排成一列：1，2，3，4，5，6，7，8，9．分析先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求．但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11＝2+9．逐个做下去，可得11＝3+8，1l＝4+7，11＝5+6．可见共有4种不同的写法．例6将12分拆成三个

6、不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出．解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12＝1+2+9．下面进行变化，如从9中取1加到2上，又得12＝1+3+8．继续按类似方法变化，可得下列各式：12＝1+4+7＝2+3+7，12＝1+5+6＝2+4+6，12＝3+4+5．共有7种不同的分拆方式．、例7将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从l～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你

7、一一列出．解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21－(9+8)=4，所以接着只能选3和1．这样就可以得出第一个分拆式：21＝9+8+3+1，以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方式：以9开头的分拆方式有6种以8开头的分拆方式有4种21＝7+6+5+3}以7开头的分拆方式有1种∴共有11种不同的分拆方式．例8从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然数之和．解：以12开头的分拆方式共10种以ll开头的分拆方式共10种以10开头的分拆方式共8种以9

8、开头的分拆方式共4种26＝8+7+6+5}以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为：10+10+8+4+1＝33种．总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行．习题九1．把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出．2．将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出．3．将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出．4．将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种