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1、第8讲平面向量的概念及线性运算基础梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有力宜的量叫向量；向量的大小叫做向量的模.(2)零向量：长度等于©的向量，其方向是任意的.⑶单位向量：长度等亍1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.(5)相等向量：长度相等且相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方宜相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三总形法则平行筒边形法则(1)交换律：a+b=b+a.(2)结合律：($+&)+c=a+(〃+c)减法求8与6的相反向量—b的和的运算叫做a与6的差a三
2、角形法则ab=a+(b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数久与向量0的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作久日，它的长度与方向规定如下：©I"=
3、^l
4、a
5、；②当人＞0时，久8与0的方向相同;当人V0时，人俎与俎的方向相反;当人=0时，Aa=0.(2)运算律：设/I,“是两个实数，则①久(“日)=(久〃)日；②(人+“)日=人a+〃日；③{a+H)=^a+b.4.共线向量定理向量a(a^0)与方共线的充要条件是存在唯一一个实数久，使得b=Aa.^=助修微博——i条规律：二诫地苴星顺次相按的多个间量的和等王丛第一二个包量起点指问最后二个间量经点的向量.前个防范：(1)向量
6、共线的充要条件中要注意“$H0”,否则久可能不存在，也可能有无数个.(2)证明三点共线问题，可用向量共线來解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.考点一：平面向量的基本概念例1.给出下列命题：①若Ia=h
7、,^a=b；②若力，B,C,〃是不共线的四点，则殛=反是四边形力跑为平行四边形的充要条件;③若a=b,b-c,M5=c；④厅二乙的充要条件是I5
8、=
9、^
10、且&//为;②若a//b.b//c,贝IJ3//C；其中正确的序号是o.解析：(1)①不正确•两个向量的长度相
11、等，但它们的方向不一定相同；②正确；J~AB=DCf:.AB=~DC且而〃万0,又AB,C,〃是不共线的四点，・・・四边形力做为平行四边形；反之，若四边形力妙为平行四边形，贝ij,AB//DC^AB冃反因此，AB=DCO③正确；・・・a=b,:.a,乙的长度相等且方向相同;又b=l:,・・・b,0的长度相等且方向相同，/•a,乙的长度相等且方向相同，故a=c.④不正确；当a//b且方向相反时，即使a=b,也不能得到故a=b且a//b不是云二厶的充要条件，而是必要不充分条件；⑤不正确；考虑^=6这种待殊情况;综上所述，正确命题的序号是②③。由题悟法1.平面向量的概
12、念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.2.几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)向量平行与起点的位置无关.练习(1).下列命题正确的是()A.不平行的向量一定不相等B.平面内的单位向量有且仅有一个C.$与方是共线向量，方与G是平行向量，则刃与G是方向相同的向量D.若2与b平行，则b与8方向相同或相反解析：选A对于B,单位向量不是仅有一个，故B错；对于C,曰与c的方向也可能相反，故C错；对于D,若b
13、=0,则方的方向是任意的，故D错，综上可知选A.考点二平面向量的线性表示例2平行四边形0八DB的对角线交点为C,BM=
14、BC,CN=
15、d),0A=a,0B=A,用8、b表解:BA=a—A,BM=£bA=£—”,0M=0B+丽=話+詁.0D=o+&,ON=OC+CN=^OD+
16、oD=
17、ob=
18、a+
19、AMX=OTI-0M=
20、a-
21、z>.练习：（教材习题改编）设日，方为不共线向量，AB=a+2b,BC=-Aa-b,CD=-5a-3A,则下列关系式中正确的是（）A.AD—BCB.AD=2BCC.~AD=-~BCD.~AD=-2~BC解析：选BAD—AB+BC+CD=a+2i+（―4a—Z?）+
22、（—5a—3方）=—Ra—2b=2（—4a~b）=2BC.考点三共线向量定理的应用例3设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证：A、B、D三点共线;⑵试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.(1)证明：•・•AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),・・・BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB..・.AB,丽共线.又它们有公共点B,・・・A、B、D三点共线.
