从蒙提霍尔问题到全概率公式

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1、从蒙提霍尔问题到全概率公式【摘要】全概率公式是概率统计课程教学中的一个教学难点•本文采用启发式结合总结式的教学方法，从一个有趣的生活实例一一蒙提霍尔问题入手，通过教师循序渐进地设问，引导学生积极思考，从而归纳出全概率公式，再从一般到特殊，通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用全概率公式来解决实际问题的目的.【关键词】蒙提霍尔问题；全概率公式；教学设计【基金支持】（1）2015.6.1-2016.5.31,西南石油大学教师教学研究重点资助项目，“利用现代教育技术实现《概率统计》立体化教学模式的研究和实践”,（?目编号2015JXYJ-23）；（2）2013.02-2016.07四川省

2、教育厅教学改革研究项目“多元化人才培养模式下的大学数学系列课程改革与实践”（项目编号X15021301019）；（3）2015.11.1-2017.08.10,高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目，“将优秀微课作品应用于概率统计课程教学的教学模式的探索与实践”（无项目编号）全概率公式是概率论中的一个重要的公式，也是教学中的一个重点内容•在许多的概率统计的教材中，通常都是直接给出样本空间的划分（分割）的定义，然后以定理的形式给出全概率公式[1,2]•但是笔者在给工科学生讲授这部分内容时发现，如果按照教材上的方式来讲解，学生会感到非常的枯燥，而但接受起来也存在一定的困难•尤其是面对一

3、些贴近生活的实际问题，学生不能很好地应用该公式•从而使得部分学生逐渐丧失信心，产生畏难情绪，失去学习的兴趣•因此有必要对全概率公式的教学进行比较深入细致的设计.在教学中，对于一个新知识的讲解，“引入”是十分关键的•著名的数学家拉普拉斯说过：“生活中最主要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题・”由此可见，在现实生活屮随处可见概率问题•因此，在概率统计课程的教学中，可以通过分析现实牛活中的一些有趣的案例导入新课.一方面，可以激发学生的好奇心和求知欲，另一方面也有助于学生理解抽象复杂的公式•鉴于此，本文采用启发式结合总结式的教学方法，从一个有趣的生活实例一一蒙提霍尔问题入手，通过教师循序渐进

4、地设问，从而归纳岀全概率公式，再从一般到特殊，通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用全概率公式来解决实际问题的目的•整个教学设计体现“以教师为主导、以学生为主体”的教学理念，引导学生主动学习、思考,并教会学生怎样应用所学知识来解决实际问题，体现“授人以渔”・一、回顾前面学习的知识教师在讲授新内容之前可以花几分钟的时间复习与新内容密切相关的一个或者几个知识点，自然地过渡到新课•这是一种“以IH入境，推IH引新”的“复习式”切入法[3]・这样便于将新旧知识逻辑性地联系起来，利于教师循序渐进地引导学生学习新知识•同时有利于巩固已有知识，并引发学生积极思考，利用所学新知识解决问题.教师首先

5、和学生一起回顾在前一节屮学习的知识：条件概率公式和乘法公式[1]・条件概率：设A,B为随机试验E的两个事件，且P(A)>0,则称P(B

6、A)二P(AB)P(A)为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.而在实际应用中，我们很少直接利用这个公式来计算条件概率，而是事先根据实际情况算岀条件概率，再利用它来计算积事件的概率，也就是乘法公式P(AB)二P(A)P(B

7、A)(或P(AB)二P(B)P(A

8、B))•这两个公式在概率统计中非常有用，而关于这两个公式的应用有很多•先来看一个例子.二、由有趣的生活实例引入全概率公式引例(蒙提霍尔问题)在一个综艺节目中，有编号为1、2、3的三扇门，门后分别藏

9、有两只山羊和一辆宝马汽车作为奖品，门后的奖品的种类主持人是知道的，当然参赛选手不知道•参赛选手答对题冃后，可以从三扇门中任选一扇门，得到相应的奖品•现在假设该参赛选手选中了1号门,主持人将未选的两扇门中打开一扇(例如3号门)，后面是一只山羊•如果你是参赛选手，现在主持人再给你一次改变选择的机会，你是否改变选择,将选中的1号门换为2号门？蒙提霍尔问题(MontyHallproblem,也称为三门问题)是一个著名的概率趣题，实质上是一个源自博弈论的数学游戏问题[4]・该问题出自美国的一个电视游戏节目LetsMakeaDeal,由于该节目是由蒙提霍尔主持的，因此通常称这个问题为蒙提霍尔问题.给出

10、引例之后，教师通过设问的方式进一步引导学生思考•提问：假设你是参赛选手，你会怎样选择？改选还是坚持原来的选择呢？留一些时间让学牛参与讨论，充分调动学牛的学习积极性•对于该问题，学生们众说纷纭，各执一词，有从心理学分析原因的，有从逻辑分析原因的•此时教师要引导学生从数学的角度來分析问题，指出“改选”或“不改选”最关键的问题在于何种选择会对参赛者更有利，也就是获得宝马汽车的可能性更大一些•用数学语言来描述就是：哪种选择下获得