浅谈新课程高考中理科立体几何问题的解法

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1、浅谈新课程高考中理科立体几何问题的解法雷运入摘要：立体几何在高考数学试题中是不可缺少的重要组成部分，而且在整份试卷中占的分值比重也相当大。所以掌握好立体几何这部分知识，对提高高考数学的分数有很大的意义。立体几何问题中所涉及的解法很多，合理地选择解法有利于提高我们解题的速度和正确率。关键词：立体几何、新高考、解题方法、向量法、几何法在高考数学复习教学过程中，通过学生对立体几何的复习训练和测试，我发现有的学生能够快速并准确的完成，有的学生却花了很多时间而且还出现错解，甚至也有的学生无从下手解题。立体几何在高考数

2、学试题中是不可缺少的重要组成部分，而且在整份试卷中占的分值比重也相当大。所以掌握好立体几何这部分知识，对提高高考数学的分数有很大的意义。立体几何问题中所涉及的解法很多，合理地选择解法有利于提高我们解题的速度和正确率。下面是我整理出来的在解立体几何常见问题中的一些方法，并结合2009年几个新课改区数学高考试卷和全国卷中立体几何的大题，谈谈解法的选择应用。一、立体几何的题型与解题方法（一）证明平行问题（主要是线面平行）方法一:线线平行线面平行a∥b,∥（几何法）方法二:线线平行线面平行面面平行线面平行（几何法）

3、方法三:线与面的法向量垂直(两向量的数量积为0)线面平行（向量法）方法要点：找中点，取中点，连接中点，得三角形中位线，推出线平行。（二）证明垂直问题几何法：线线垂直线面垂直面面垂直向量法：(1)证明线线垂直方法:证明线所在向量的数量积为0；(2)证明线面垂直方法:证明平面外的线所在向量与平面内两相交直线所在向量的数量积均为0；(3)证明面面垂直方法:证明两个面的法向量数量积为0。（三）求体积和求点到面的距离(主要是三棱柱,四棱柱,三棱锥,四棱锥)常用方法：(1)直接法；(2)等体积法：(3)向量法：点到面距

4、离的距离公式为（这里表示点到面距离，指的是那一点到那一平面内任意一点所连成的向量，指的是该平面的法向量）（四）求成角问题(1)求异面直线所成的角公式为（这里是两条异面直线所成的角；点A，B为第一条直线上任意两点，点C，D为第二条直线上任意两点）(2)求线面角公式为(这里是空间直线和平面所成的角，指的是空间直线上任意两点所连成的向量，指的是平面的法向量)(3)求二面角公式为（这里是二面角的平面角或其补角，是第一个平面的法向量，是第二个平面的法向量）特别提示:向量法解立体几何题有三点必须注意：①如何找到并建立空

5、间直角坐标系，关键是要找Z轴，只要Z轴找到了，空间直角坐标系就能建立了；②训练自己的空间想象能力，要写对每个点的坐标；③向量公式要熟记于心；再加上适当的训练，向量法就一定能掌握好。二、实例分析实例1：（2009年福建.理17）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，，且MD=NB=1，E为BC的中点（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解析：（1）在如图，以D为坐标原点，

6、建立空间直角坐标依题意，得。，所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）假设在线段上存在点，使得平面.,可设又.由平面，得即故，此时.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时.分析：此题用向量法解题比用几何法解题明显更简洁一些，用向量法首先要找出垂直于底面的线做为z轴，（2）存在性问题通常的思考方向是假设存在，然后结合已知条件去求解。实例2、（2009（广东卷18．）如图６，已知正方体的棱长为２，点Ｅ是正方形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点．设点分别是点Ｅ，Ｇ在平面内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边

7、形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线；（３）求异面直线所成角的正弦值18.解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为，又面，，∴.（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，∴，，即，，又，∴平面.（3），，则，设异面直线所成角为，则.分析：（1）用直接法找出几何体的底面和高即求得；（2）从图中可以很容易地找出垂直底面的线，所以用向量法证明简洁快速；（3）要求成角正弦值，只需用成角的余弦公式先求

8、出余弦值，再利用同角正余弦公式即得。实例3：（2009（全国卷18）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点M在侧棱上，=60°（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的大小。（I）解法一：作∥交于N，作交于E，连ME、NB，则面，,，设，则,在中，。在中由解得，从而M为侧棱的中点M.解法二:过作的平行线.解法三:利用向量处理.以D为坐标原点，射线DA为X轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz所以M为侧棱S