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1、微专题4高考中的立体几何问题【理科数学】微专题4：高考中的立体几何问题A考法帮考向全扫描目录CONTENTS考向1求空间几何体的表面积或体积考向2空间点、线、面的位置关系及空间角的计算A考法帮考向全扫描考向1求空间几何体的表面积或体积考向2空间点、线、面的位置关系及空间角的计算理科数学微专题4：高考中的立体几何问题立体几何是高考考查的重要内容,在高考中一般是两道小题,一道大题.小题常以三视图和常见的空间几何体(尤其是球)为载体,求解几何体的表面积和体积,考查考生的直观想象能力与数学运算能力.解答题主要考查空间线面平行关系、垂直关系的证明以
2、及空间几何体体积的计算,考题设置通常是先证明后计算,主要考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力,难度中等.涉及的思想主要有转化与化归思想、数形结合思想.考情揭秘考向1求空间几何体的表面积和体积示例1[2017全国卷Ⅲ,8,5分][理]已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为A.πB.C.D.命题意图本题主要考查圆柱体积的计算,意在考查考生的空间想象能力及数形结合思想的应用.解析设圆柱的底面半径为r,则r2=12-()2=,所以该圆柱的体积V=π×1=.答案B示例2[2016全国卷Ⅰ,6,5分][理]
3、如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是A.17πB.18πC.20πD.28π理科数学微专题4：高考中的立体几何问题命题意图本题主要考查三视图及几何体的体积、表面积的求解,意在考查考生读图、用图的能力及直观想象能力.解析由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体,设球的半径为r,故×πr3=π,解得r=2,所以表面积S=×4πr2+πr2=17π.答案A理科数学微专题4：高考中的立体几何问题考向2空间点、线、面的位置关系及空间角的计算示例3[2017全国卷Ⅰ,6,5分
4、]在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是ABCD命题意图本题主要考查线面位置关系等基础知识,意在考查考生的空间想象能力及转化与化归思想的应用.解析解法一对于选项B,如图所示,连接CD,因为AB∥CD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQ∥CD,所以AB∥MQ,又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB∥平面MNQ.选A.理科数学微专题4：高考中的立体几何问题解法二对于选项A,设正方体的底面对角线的交点为O(如图4
5、-3所示),连接OQ,则OQ∥AB,因为OQ与平面MNQ有交点,所以AB与平面MNQ也有交点,即AB与平面MNQ不平行,故选A.答案A理科数学微专题4：高考中的立体几何问题示例4[2016全国卷Ⅰ,11,5分][理]平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为A.B.C.D.命题意图本题考查异面直线所成的角,考查面面平行的性质及考生的空间想象能力.理科数学微专题4：高考中的立体几何问题解析因为过点A的平面α与平面CB1D1平行,平面ABCD∥
6、平面A1B1C1D1,所以m∥B1D1∥BD,又A1B∥平面CB1D1,所以n∥A1B,则BD与A1B所成的角为所求角,所以m,n所成角的正弦值为.答案A理科数学微专题4：高考中的立体几何问题示例5[2016全国卷Ⅰ,18,12分][理]如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(Ⅰ)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.理科数学微专题4：高考中的立体几何问题命题意图本题主要考查面面垂直的证明及二
7、面角的余弦值的求解,意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力.解析(Ⅰ)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,DF∩FE=F,所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(Ⅱ)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴的正方向,
8、
9、为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.理科数学微专题4：高考中的立体几何问题由(Ⅰ)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则DF=2,DG=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),
10、D(0,0,).由已知得AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F
