判定向量组线性相关性的若干方法

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1、判定向量组线性相关性的若干方法　　摘要：向量组线性相关性的判定是线性代数中的一类重要问题，方法多而灵活，本文介绍介绍了判定向量组线性相关性的一些常用的方法。　　关键词：向量组；线性相关性；判定　　中图分类号：G718.5文献标志码：B文章编号：1674-9324（2013）19-0167-02　　向量组线性相关性的判定通常有定义法、相关定理或结论、初等变换法（求秩法）、行列式法等，对于具体题目，有如下方法。　　一、对向量坐标已知的向量组　　设向量组为α1=[a11，a12，…，a1n，]，α2=[a21，a22，…，a2n，]，

2、……αs=[as1，as2，…，asn].　　要判断其相关性，分以下两种情形：　　1.当向量个数=向量维数，即s=n时，设A=[α1，α2，…，αs]T.　　（1）行列式法　　计算

3、A

4、，若

5、A

6、=0，则向量组α1，α2，…，αs线性相关；若

7、A

8、≠0，则向量组α1，α2，…，αs线性无关。　　（2）初等变换法（求秩法）　　将向量α1，α2，…，αs组排成矩阵A，即A=[α1，α2，…，αs]T（若αi是列向量时，将其排成列，构成矩阵A，即A=[α1，α2，…，αs]），再求矩阵A的秩.具体地，若R（A）

9、，…，α4s线性相关；若R（A）

10、4线性相关。　　（2）B=12-122-31341-17→12-1201-3/73/70000，可见　　R（B）=2<3.　　所以，向量组β1，β2，β3线性相关。　　注：由于向量组的秩不会超过向量组中向量的维数，所以有如下结论：一个向量组，当其向量的维数小于向量的个数时，该向量组一定线性相关.本例的（1）题就是这种情形.而当其向量的维数大于向量的个数时，情况就比较复杂，要用初等变换法（求秩法），如本例的（2）题。　　二、当向量坐标为未知时　　此时用定义进行判断.从等式k1α1+k2α2+…ksα4s=0出发，解出k1，k2，…

11、，ks，若k1=k2=…=ks=0，则向量组α1，α2，…，αs线性无关；若k1，k2，…，ks不全为0，则向量组α1，α2，…，αs线性相关。　　例2？摇设向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1=α1-α2+2α3，β2=α2-α3，β3=2α1-α2+3α3，判断向量组β1，β2，β3的线性相关性。　　解：用定义法.设存在数k1，k2，…，ks，使k1β1+，k2β2+k3β3=0，　　将β1，β2，β3代入并整理得　　（k1+2k3）α1+（-k1+k2-k3）α2+（2k1-k2+3k3）α3=0.　　由α1-α2+3

12、α3线性无关知k1+3k3=0-k1+k2-k3=02k1-k2+3k3=0　　因102-11-12-13，故齐次线性方程组有非零解，从而存在不全为零的数k1，k2，k3，使k1β1+k2β2+k3β3=0，从而向量组β1，β2，β3线性相关。　　事实上，此题可用以下方法。　　三、相关定理或结论　　用相关定理或结论判定向量组的线性相关性，也是很重要的方法，这要求熟记很多相关定理或结论。这里给出一个很有用的结论：　　若一组向量可以写成另一组线性无关向量的线性组合，且两个向量组向量个数相等，可计算其表示系数的行列式。若这个行列式等于

13、零，则线性相关；否则线性无关。　　例3已知α1，α2，…，α3，α4线性无关，判断下列向量组的相关性。4　　（1）β1=α1-α2-α3-α4，β2=-α1+α2-α3-α4，　　β3=-α1-α2+α3-α4，β4=-α1-α2-α3+α4；　　（2）β1=2α1+α2+4α3+α4，β2=3α1-α2+2α3+α4，　　β3=α1+2α2+3α3+2α4，β4=5α1+6α3+2α4.　　解：（1）表示系数的行列式为1-1-1-1-11-1-1-1-11-1-1-1-11=-16≠0，从而β1，β2，β3，β4线性无关。　　

14、（2）表示系数的行列式为21113-12112325062=0，故β1，β2，β3，β4线性相关。　　注：此题中，已知的线性无关向量组α1，α2，…，α3，α4和考察的向量组β1，β2，β3，β4，这两个向量组向量个数必须相等。若所考察的向量组β1，β2，…，β