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1、2008年3月伊犁师范学院学报（自然科学版）Mar.200858伊犁师范学院学报（自然科学版）2008年第1期JournalofYiliNormalUniversity（NaturalScienceEdition）No.1向量组线性相关性的几种判定方法肖艾平（连云港师范高等专科学校初等教育系，江苏连云港222006）摘要：将行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解等知识运用于向量组线性相关性判定，归纳出六种判定向量组线性相关性的方法.关键词：向量组；线性相关；线性无关；判定方法中图分类号：O151文献标识码：A文章编号：1673—999X（2008）01—0
2、058—02在线性代数的学习中，向量线性相关性的判定很难理解和掌握.向量线性相关性是线性相关和线性无关的统称，而向量组的线性相关和线性无关是相对的，只要掌握了向量组的线性相关的判定，向量组的线性无关的判定就同时解决了.本文将判定向量组的线性相关的几种常用方法归纳如下：1定义法这是判定向量组的线性相关性的基本方法，既适用于分量没有给出的抽象向量组，也适用于分量已经给出的具体向量组.定义设向量组α,,,(1αα?s≥)，若数域F中存在不全为零的数kk,,,?k，使得12s12skkα++αα?+=k0，则称向量组α,,,αα?线性相关，否则，则称向量组α,,,α
3、α?线性无关.1122ss12s12s例1：设β=+ααβαα,,=+β=+αα,β=αα+,证明向量组β,,,βββ线性相关.1122233344411234证明：设存在四个数kkkk,,,，使得kkkkα+ααα++=0，将β=ααβαα+=,,+123411223344112223β=+αα,β=+αα,代入上式整理得()()()()0kk+α++kkααα++kk++kk=，334441141122233344令kk==1，kk==−1，则有kkkkα+ααα++=0，所以由线性相关的定义知，向量组132411223344β,,,βββ线性相关.12
4、342利用向量组的线性相关的充要条件向量组α,,,(2αα?s≥)的线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表出；12s而对于单个向量α，α线性相关的充要条件是α=0.如例1，β=+−βββ，即β可由其余三个向量线性表出，故向量组β,,,βββ线性相关.4132412343方程组法方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题.对于各分量都给出的向量组α,,,αα?线性相关的充要条件是以α,,,αα?的列向量为系数矩阵的12s12s齐次线性方程组有非零解；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关.例2：讨论向量
5、组ααα=−(2,1,1,1,−=−)(0,3,2,0,)=(2,4,3,1−)的线性相关性.123⎧22kk+=013⎪⎪kkk+34+=0123解：以α123,,αα为系数的齐次线性方程组是⎨−kkk−+=230⎪123⎪−kk−=0⎩13收稿日期：2007―10―17作者简介：肖艾平（1977—），女，江苏连云港人，助教，主要研究代数方向.第1期肖艾平：向量组线性相关性的几种判定方法59解之得kk=−,kk=−，即kk==−=1,k1是方程组的一组非零解，故α,,αα线性相关.13231231234矩阵秩法矩阵秩法就是将向量组构成矩阵，利用矩阵的初等变
6、换，将矩阵化为阶梯形矩阵.当矩阵的秩小于向量的个数，向量线性相关；当矩阵的秩等于向量的个数，向量线性无关.如上例2，以α,,αα为列向量组的矩阵A，进行初等行变换，得123⎡⎤202⎡101⎤⎢⎥⎢⎥134011⎢⎥→⎢⎥⎢⎥−−123⎢000⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−101⎣000⎦由最后阶梯形矩阵的秩知原矩阵的秩为2，小于向量组的个数3.故α,,αα线性相关.123上面是以α,,αα为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩的关系，用α,,αα为行向量组构造123123矩阵，再进行初等行（列）变换也可以得到相同的结果.5行列式值法若向量组α,,,αα?是由s个s维
7、向量所组成的向量组，且向量组α,,,αα?所构成的矩阵为12s12sA=()α12,,,αα?s，即A为s阶方阵.则（1）当A=0，则向量组α,,,αα?线性相关；12s（2）当A≠0，则向量组α,,,αα?线性无关.12s6反证法此方法是数学中常用的证明方法，欲证命题真，先假设命题假，导出矛盾，从而原命题得证.例3：若α,,,αα?线性无关，若α=kkαα++?+kα且k≠0（im=1,2,?,）.12mmm+11122mi证：α,,,,αα?α中任意m个向量线性无关.12mm+1证：由已知得，α用α,,,αα?表示，且表达式唯一.m+112m设α,,,,
8、,(??ααα1≤≤+im1)线性相关，则存在不全为
