浅析函数与方程思想及其应用

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1、浅析函数与方程思想及其应用　　摘要：函数与方程思想在数学学习中是一种十分重要的思想。本文阐述了函数与方程思想的定义，主要论述了交轨法、判别式法、构造函数与方程法及换元法四种有关函数与方程思想的解题方法以及在例题中的应用，以供读者参考。　　关键词：函数；方程；解题方法　　中图分类号：G642.4文献标志码：A文章编号：1674-9324（2014）02-0102-02　　AnalysisofFunctionsandEquationIdeologyanditsApplication　　XUEWen-jia，PIAOYong

2、-jie*　　（Departmentofmathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China）　　Abstract：Intheprocessoflearningmathematics，functionandequationideologyisanimportantidea.Thepapermainlyillustratesthedefinitionofthefunctionandequation，introducesfoursolutionso

3、ftheproblemsoffunctionandequation，forinstance，trackintercross，discriminantmethod，theconstructionoffunctionandequation，andsubstitutemethodaswellastheapplicationofthemforreaders.　　Keywords：function；equation；solutionapproach6　　一、引言　　函数与方程思想体现出的是数学知识、能力、及其本质，同时它也体现了

4、数学的学科特点。函数与方程思想在中学数学解题中是最基本的思想，所以对于中学数学的学习，十分有必要加强这种思想方法的训练，不断地提高学生思维的灵活性。　　函数思想即为把问题中的量分化为变量和常量，并把这些量用字母表示出其相互关系，再利用函数的性质解决问题；而方程思想是把问题中的量分化为已知量和未知量，并把这些量用字母表示出其关系，利用方程、不等式的性质解决问题。总之一句话，函数与方程思想就是把数学问题都利用函数与方程去解决问题。　　二、函数与方程思想的应用　　在本文，我们将通过四种方法具体阐述函数与方程思想在解决数学问题

5、中的重要应用。　　（一）交轨法　　交轨法也是方程组法的几何解释，在列成的方程组中每一个方程均表示一条轨迹，要求这些轨迹的“交”也就是求方程组的解。利用交轨法的解题步骤一般为先把问题化归为求一个“点”；再把已知条件分成几部分，使得每一个条件都形成一个轨迹；最后利用几何法或代数法求得轨迹的“交点”。　　例1：A1，A2是椭圆■+■=1=1的长轴的两个端点，P1，P2是垂直于A1，A2的弦的两个端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程。6　　解：设交点P（x，y），A1（-3，0），A2（3，0），P1（x0，y0），P

6、2（x0，-y0）A1，P1，P共线，则有■=■①　　A2，P2，P共线，则有■=■②　　①②联立，解得x0=■，y0=■　　代入①得到轨迹方程■-■=1　　评论：本例题是交轨法在解析几何中的典型应用，动点的约束分为两部分，即得到①②构成的方程组，解开得到的即为交点的轨迹方程。此题也是典型的条件组问题，是高考的重点。　　（二）判别式法　　判别式法就是利用方程的系数来判断根的情况，在解决问题时，将问题转化为二次方程，再利用判别式法和方程的性质解决问题。　　例2：（1979年高考题）若（z-x）-4（x-y）（y-z）=0

7、，　　求证：x，y，z成等差数列。　　解析：分两种情况　　（1）当x=y时，由张定条件易得z=x，因此x=y=z，所以x，y，z成等差数列。　　（2）当x≠y时，构造判别式为Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）的一元二次方程：　　（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0③　　Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，　　∵方程③有相等的实根t1=t2　　又直接观察可知方程③有根t=1　　∴t1=t2=1由违达定理得■=t1t2=1，6　　∴x-y=y-z，即x，y，z成等差数列。　　评论：此题虽是早年的高考

8、题，但其体现出判别式法的本质。本题也是构造方程的例子，利用Δ构造方程，然后解决问题。需要注意的是二次方程的二次系数不能为零，故本题应分类别解答。　　（三）构造函数与方程　　构造函数与方程的思想就是根据问题给出的条件和结论所具有的特点，构造出条件和结论的函数与方程，借助函数或方程去解决问题。　　例3：（上海高考）对于函数f（x），若