函数与方程思想应用举例

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1、--WORD格式--可编辑--函数与方程思想应用举例江苏省扬中市第二高级中学郭炜发表于中学生数理化2011.09题型一函数与方程思想在不等式﹑函数方程中的应用函数与方程﹑不等式密切相关,利用函数概念﹑性质﹑图象,把方程﹑不等式问题转化为函数问题求解,特别在不等式的证明﹑含参数的范围问题中有着广泛的应用例1．已知是不全为零的实数，函数，．方程有实数根，且的实数根都是的根；反之，的实数根都是的根．（1）求的值；（2）若，求的取值范围；（3）若，，求的取值范围．本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识

2、，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力．解：（1）设为方程的一个根，即，则由题设得．于是，，即．所以，．（2）由题意及（1）知，．由得是不全为零的实数，且，则．方程就是．①方程就是．②（ⅰ）当时，，方程①、②的根都为，符合题意．（ⅱ）当，时，方程①、②的根都为，符合题意．（ⅲ）当，时，方程①的根为，，它们也都是方程②的根，但它们不是方程的实数根．由题意，方程无实数根，此方程根的判别式，得．综上所述，所求的取值范围为．（3）由，得，，．③----WORD格式--可编辑--

3、由可以推得，知方程的根一定是方程的根．当时，符合题意．当时，，方程的根不是方程　④的根，因此，根据题意，方程④应无实数根．那么当，即时，，符合题意．当，即或时，由方程④得，即，⑤则方程⑤应无实数根，所以有且．当时，只需，解得，矛盾，舍去．当时，只需，解得．因此，．综上所述，所求的取值范围为．题型二函数与方程思想在数列中的应用数列实质上的就是定义域为N（或N的形如{1，2，…，n}的有限子集）的函数值列。应该注意N的无限子集中除N外均不能做为数列所对应的函数的定义域，有限子集也必须是规定的形式，比如

4、：{1，3，5，…}、{2，3，4，…，10}等等就不可以。数列的通项公式，前n项和公式实质上就是函数解析式。因此,函数与方程的思想在数列中有着广泛的应用。从函数角度观察等差数列的通项公式：，会得的形式。若，为常数列，为常数函数形式；若，为时的一次函数的形式。等差数列的前n项和公式：若，有（时为正比例函数形式，时为常数为0的常数函数的形式）；若，为，，时的二次函数的形式。时，----WORD格式--可编辑--有最小值；时，有最大值。从方程观点研究等差数列的通项公式及前n项和公式，知，对于中五个量知

5、三可求.例2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，>0，<0，（1）求公差d的取值范围；（2）指出、、…，中哪一个最大，并说明理由。解析（1）由得：，∵＝>0＝<0，∴

6、双曲线相交于两点．（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：由条件知，，设，．（I）设，则则，，，由得即于是的中点坐标为．----WORD格式--可编辑--当不与轴垂直时，，即．又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得，即．将代入上式，化简得．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．所以点的轨迹方程是．（II）假设在轴上存在定点，使为常数．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，

7、所以，，于是．因为是与无关的常数，所以，即，此时=．当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，此时．故在轴上存在定点，使为常数．题型四函数与方程思想在立体几何中的应用例4.已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为1，表面积为，求长方体的体积的最值。解析：设三条棱长分别为x，y，z，则长方体的体积V＝xyz。由题设有：；所以，故体积V（x），----WORD格式--可编辑--下面求x的取值范围。因为，所以y、z是方程的两个实根。由，因为所以当时，；当时，。点评：解决本题的关键在于确定目标函数时，根据相关

8、条件的特征，构造了二次方程，并由此得出定义域使问题得解。题型五函数与方程思想在三角中的应用例5．求的取值范围。解析：设，则，构造二次函数，由图可知：即。题型十函数与方程思想在实际问题中的应用数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一例11.如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值．解答:（I）依题意，以的中点为原点