高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题3 数列 第12讲 高考中的数列教师用书 理

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1、系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。第12讲　高考中的数列题型一

2、等差、等比数列的判定与证明　(2013·江苏高考)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.[证明]　(1)由c

3、＝0，得bn＝＝a＋d.1分又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b＝b1b4，2分即2＝a，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.4分因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.6分(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的n∈N*，有n3＋n2＋cd1n＝c(d1－b1).8分令A＝d1－d，B＝b1－d1－a＋d，D＝c(d1－b1

4、)，则对于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)在(*)式中分别取n＝1,2,3,4，得A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，从而有10分由②③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0，即d1－d＝0，b1－d1通过党课、报告会、学习讨论会等多种形式，组织党员读原著、学原文、悟原理，进一步掀起学习贯彻新高潮，教育引导广大党员更加自觉用习近平新时代中国特色社会主义思想武装头脑、指导实践、推动工作。系统掌握蕴含其中的马克思主义立场

5、观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。－a＋d＝0，cd1＝0.14分若d1＝0，则由d1－d＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.又因为cd1＝0，所以c＝0.16分【名师点评】　证明(或判断)数列是等差(比)数列的基本方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；＝q(q是非零常数)⇒{an}是等比数列；(2)等差(比)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈

6、N*)⇒{an}是等差数列；a＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)⇒{an}是等比数列．(2016·南通三模)已知数列{an}，{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，an＋1bn＝Sn＋1(n∈N*)．(1)若a1＝1，bn＝，求a4的值；(2)若{an}是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{bn＋λ}为等比数列；(3)若{an}的各项都不为零，{bn}是公差为d的等差数列，求证：a2，a3，…，an，…成等差数列的充要条件是d＝.[解]　(1)由a1＝1，bn＝，知a2＝4，a3＝

7、6，a4＝8.3分(2)证明：法一：因为an＋1bn＝Sn＋1，所以a1qnbn＝＋1，所以qnbn＝＋－，即bn＝n－，5分所以存在实数λ＝，使得bn＋λ＝n，又因为bn＋λ≠0(否则{bn}为常数数列与题意不符)，所以当n≥2，＝，此时{bn＋λ}为等比数列，所以存在实数λ＝，使{bn＋λ}为等比数列.10分法二：因为an＋1bn＝Sn＋1，①所以当n≥2时，anbn－1＝Sn－1＋1，②通过党课、报告会、学习讨论会等多种形式，组织党员读原著、学原文、悟原理，进一步掀起学习贯彻新高潮，教育引导广大党员更加自觉

8、用习近平新时代中国特色社会主义思想武装头脑、指导实践、推动工作。系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。①－②得，当n≥2时，an＋1bn－anbn－1＝an，③由③得，当n≥2时，bn＝bn－1＋＝bn－1＋，5分所以bn＋＝，又因为bn＋≠0(否则{bn}为常数数列与题意不符)，所以存在实数λ＝，使{bn＋λ}为等比数列.10分(3)证明：因为{bn}为公差为d的等差

9、数列，所以由③得，当n≥2时，an＋1bn－an(bn－d)＝an，即(an＋1－an)bn＝(1－d)an，因为{an}，{bn}各项均不相等，所以an＋1－an≠0,1－d≠0，所以当n≥2时，＝，④当n≥3时，＝，⑤由④－⑤，得当n≥3时－＝＝，⑥12分先证充分性：即由d＝证明a2，a3，…，an，…成等差数列，因为d＝，由⑥得－＝1，所以当n≥3时，－1＝，又an