微积分基本定理的教学探索

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1、微积分基本定理的教学探索　　摘要：高等数学是大学本科一门重要的公共基础课程，本文针对高等数学教学现况，结合作者自身的教学实践以及课程本身的特点和教学目的，以微积分的基本定理的教学为例，探讨对高等数学的教学方法的改革。　　关键词：高等数学；微积分基本定理；教学方法　　一、微积分的研究对象　　谈到微积分，很多教师会和学生交代其是牛顿和莱布尼茨所发明，其实只能说是二人完成了主要部分。早在笛卡尔引入了变数，运动也就进入数学，微分和积分也就立刻变成了必要。正如列宁在《谈谈辩证法问题》中指出：数学中的加号与减号，微分与积分，与

2、力学中的作用与反作用，以及化学中原子的化合与分解是相同的。我在此文中继承列宁的说法，高等数学中的微积分是研究微分与积分这对矛盾的学科。　　二、高等数学的教学现况　　我们现今的教学，由于课程科目多，所以很多课程要面临缩减课时，进而就要精简内容，尤其是高等数学就不得不对很多定理只叙述，不证明推理。而对于教育的受体――学生，为了考试，也就疲于应付，埋身于题海之中，苦不堪言。也正是因为这样，使得很多大学生对高等数学产生“恐惧”，从心理上拒绝，这样就会影响到听课效率，进而学习效率也会降低，而数学是注重逻辑的学科，前后知识环环

3、相扣，学生一次课跟不上，那就次次跟不上，导致最后放弃。5　　当然，对于基础的工具课程，熟练其计算方法势必要有足够练习作为保障，但是“磨刀不误砍柴工”，在具体实施之前应该对所要加工处理的对象有个整体的把握。对于一些定理，我们是可以根据学生专业特点对其证明过程做一些适当的舍弃，以免学生产生畏惧，但是作为高校教师的我们一定要注意虽然证明可以舍弃，但是其定理的思想一定要交代清楚。不然，会使得学生仅仅掌握高等数学知识，而在数学素质的提高上收效甚微，考试时也只能是依葫芦画瓢，对于知识并没有真正理解掌握。长此以往，学生会产生疑惑

4、：“高等数学除了应付考试还有何用？”　　针对传统数学教与学方面存在的种种不足以及高等数学本身的特点和教学目的，我以高等数学微积分中的基本定理为例，探讨一下除了在教学上采用多媒体这些先进工具之外，更应该去了解和学习的是对知识本身的深层挖掘以及理论联系实践的重要性。　　三、微积分基本定理的教学　　微分与积分的启蒙思想可以追溯至上千年之前，直到牛顿和莱布尼茨给出并且证明了如下的微积分基本定理，才标志着微积分的诞生。故而，这个基本定理也叫牛顿――莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式。定理1：若函数f（x）在区间[a

5、，b]上连续，且存在原函数F（x），则f（x）在[a，b]上可积，且F（x）是f（x）的一个原函数，则　　■f（x）dx=F（b）-F（a）5　　在讲授这个定理时，教师经常会把此式和定积分的计算放在一起，将其作为定积分计算的依据，使得定积分的计算有了一个完善、令人满意的方法。而在其他方面再也不提及此定理。这是一个很大的误导，会导致学生把这个定理认定是一个简单的计算的理论依据而已，对其重要性会失去认识，更严重的是使得学生失去了解微积分本质的机会。对于这个定理，我可以改写成下面两种等价的形式：定理2：若函数f（t）在区

6、间[a，b]上连续，且x是[a，b]内的一个点，令　　F（x）=■f（t）dt　　则F（x）在[a，b]上可微，并且dF（x）=f（x）dx。　　定理3：若函数F（x）在[a，b]上可微，且dF（x）=f（x）dx，那么　　■f（t）dt=F（x）-F（a）　　这两种不同的表现形式反映整体性质的积分和反映局部性质的微分在某种意义下是相互决定着的，这是一对互逆的运算。这个定理之所以成为基本定理，是因为其是整个微积分的核心部分，也是联系微分和积分的必不可少的桥梁。为了深刻认识其重要性，可以先回顾一下一元函数的微积分定义

7、。　　定义1：设函数f（x）在x0的一个邻域内有定义，若极限　　■■　　存在，则称其为函数f（x）在x0处的导数，记作■或f'（x0），即■■=■。而相应的df（x0）称为函数在x0处的微分。　　定义2：设函数f（x）在[a，b]上的一个有界函数，在[a，b]内任取n-1个节点，a=x0

8、限记作■f（x）dx=■S■。5　　对于一元函数的定积分在几何上可以理解为曲边梯形的面积，就最简单的幂函数而言。我们可以看到利用“分割、近似、求和、取极限”方法来求得积分都是极难的。更何况，采用不同的分割方法会得到不同的极限形式，即使就某一种你得到极限也无法证明其即为所求。但是，有了前面的基本定理，只要我们想到微分和积分是互为逆运算，那么求积分的问题仅仅就是