定积分中求曲边梯形面积的教学新设计

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1、定积分中求曲边梯形面积的教学新设计　　【摘要】求曲边梯形面积是导出定积分概念重要引例，但是教材中对此块内容的讲解并不能让学生完全认可。本文先从一个简单求面积的实例出发，再对其进行推广，自然地导出一般曲边梯形面积的计算方法，这种方法在实践中得到了广大学生的认可。　　【关键词】定积分曲边梯形面积　　【中图分类号】O13【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2013）07-0128-02　　定积分是高等数学中最重要的两个基本概念之一。定积分的概念的产生与发展经历的很长时间，这也造成了概念本身的复杂性。现有一般的教材中定积分的概念基本上都是由求

2、曲边梯形面积这一引例抽象出来的。但是，在教学中，学生对求曲边梯形面积主要有两点疑问：　　（1）为什么求面积要使用“分割、取近似、求和、取极限”的这样一个非常复杂的方法，感到方法很陌生，很难以理解。　　（2）经过上述步骤得到的是一个异常复杂的极限，教材中就把这个极限值“看成”或“理解成”或“定义为”所要求的曲边梯形的面积。实际上，通过对学生的调查询问，大多数同学并不完全认可这个结果，从而有可能导致对定积分整块内容的不认可。　　上面的问题在现有的教材中均未给出很清楚的解释。本文试图从一个简单的具体例子出发，先让同学们认可这一结果，然后再进行推广。6　

3、　1.曲边梯形简介　　首先介绍一下什么叫做曲边梯形。　　定义曲线梯形是由连续曲线y=f（x），直线x=a，x=b及y轴所围成的图形，如图1所示。　　我们的目标就是要求这个封闭图形的面积（注意是精确值）。这种不规则的图形的面积显然不能用初等公式得到结果。下面我们从一个简单例子开始。　　2.一个简单例子　　实例求曲线y=x2、直线x=1及y轴所围成的图形的面积。　　显然，本例的图形可看成为曲边梯形的一个特例。我们仍可采用“分割、取近似、求和、取极限”这样的步骤进行计算，将其中具体的细节（如分割的方法、取近似的值）具体化，经计算得到图形的面积，最后再加

4、以推广。下面介绍这个特殊图形的具体方法。　　3.第一种方法　　先按上述四个步骤进行第一次计算。　　（1）分割：在闭区间[0，1]内插入n-1个分点，等份，则长度为1的区间被分成了n份，每个小区间的长度为■；过区间中间的n-1个分点做垂线将图形进行分割，这样就得到了n个小图形，如图2所示。　　（2）取近似：取每个小区间左端点的函数值为矩形的高，以每个小区间长度（都为■）为矩形的底构造n个（实际上是n-1个）矩形，用它们来近似相应的窄曲边梯形的面积（如图2所示）。　　（3）求和：将上步的n-1个矩形的面积相加，6　　（■）2?■+（■）2?■+…+（

5、■）2?■　　=■　　其和作为整个曲边梯形的面积的近似值。　　（4）取极限：令各小区间长度■→0，即n→∞，计算上式的极限■■=■。　　通过上述过程可见，经过此方法得到的式子的极限是存在的。那么自然而然的问题是：此极限值就是所求图形面积，还是比所求面积略大？　　4.第二种方法　　为了回答所提出的问题，下面我们将计算方法稍作改动，具体如下：　　第二步将取左端点的函数值改为右端点，则得到的是n个矩形（如图3所示），其面积之和为　　（■）2?■+（■）2?■+…+（■）2?■+（■）2?■　　=■，　　令n→∞，即每小区间长度趋于零时，得极限值为　　■

6、■=■。　　通过上面的两次计算，所提出的问题也有了答案，即我们要求的面积确为1/3。从而，我们得到了一个常识：在取极限时，当令每个小区间长度都趋于零时，得到的极限值即为所求面积，即按照这种方式取极限可以消除误差。　　5.方法的推广　　下面将上述两种计算方法进行推广，有如下两方面：6　　（1）取近似这一步取左端点还是右端点得到的结果是一样的，所以显然取小区间中任何一点得到的结果也应该是相同的。　　（2）由上面得到的常识可知，区间的分割方法也不必要等份，我们可以采取其它的分法，只要能够取极限时使得每个小区间长度趋于零就可以了。　　下面写出关于此例推广

7、后的计算方法：　　（1）分割：在闭区间[0，1]内任意插入n-1个分点0

8、求和：将上步的n-1个矩形的面积相加，　　S=■△Si≈■f（ξ1）?△xi；　　其中S为所求面积。　　（4）取极限：记λ=max{△x