例谈“数”、“形”求最值问题

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1、例谈“数”、“形”求最值问题　　初中数学中的求最大（小）值是一类较为常见的问题，是重要的内容之一，这类问题所涉及的知识面非常宽，并且它的题型也是灵活多变，要求同学们有较强的数学转化思想和创新意识。这些问题不但在生活实践中有一定的实用意义，也是历年来数学竞赛和各类考试中经常出现的。而对于最值问题的求解，方法多种多样，它没有通用的方法，随着题型的不同，求最值的方法也有一些差异，这些方法主要通过例题去领悟。　　最值问题可以分为两大类：一大类是代数中某些量、式子的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到带有“最”字的问

2、题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等。我们可把这一大类统称为代数类最值问题，它可分为代数式的最值、有关数论的最值、有关方程未知数与函数变量的最值等三小类，一大类是几何图形中按一定规律运动的元素，在一定的范围内变化而与它有关的某个量也随之变化，有时，这个变化的量存在最大值或最小值。我们可把这一大类统称为几何类最值问题，它可分为有关角度的最值、有关线段（距离）的最值、有关面积的最值、某些几何量的统计最值等四小类。　　数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素。数形结合能力的提高

3、，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实的打好数学基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。本文对“数”、“形”5以及数形结合等方法在中学数学的教学中的应用作一些探讨。　　一、用“数”的方法求最值问题　　用配方法求代数式的最值，通常是对一个一元二次多项式而言的，即满足ax2+bx+c（a、b≠0）的形式。基本思路就是根据完全平方公式用配方法配成一个完全平方式，然后根据任何一个数的平方是非负数0来求它的最值。举一个简单的例子说明：　　例1：求代数式x2-4x+5的最小值。　　分析：代

4、数式x2-4x+5这是一个一元二次多项式，可以通过配方，再根据一个数的平方是非负数，便可以求得最值。　　解：∵x2-4x=（x-2）2-4　　∴x2-4x+5=（x-2）2+1　　∵（x-2）2≥0　　∴当x=2时有最小值，最小值为0+1=1　　对于复杂的式子同样也适用，比如求代数式2x2-3x-5的最值。　　分析：用同样的方法对2x2-3x进行配方，得■x-■■-■■　　最后就可以得出当■x=■即x=■时，原式有最小值，最小值为0-■=-■。　　思考问题：如果把一个一元二次多项式改为二元二次多项式，要求出它的最

5、值的话，这种方法是否仍然适用？　　二、用“形”的方法求最值问题5　　对称是一种客观存在的，大千世界，许多事物都具有某些对称性，对称给人们以和谐均衡的美感，在平面几何中，对称更是一种思想方法，利用对称性及“两点之间，线段最短”等性质来解决最值问题，是数学中的重要的思想方法，运用对称性解决问题，这种方法在求值中常常显示出其他方法不可代替的优越性。它既可以减少一些繁琐的计算，使解题方法简洁明快，又可以拓展学生的解题思路，培养学生的思维能力。　　1.点关于一条直线的对称问题　　例：问题：一天，天气很热，小明想回家，但小狗

6、想到河边去喝水。有什么办法能让小明带小狗到河边喝上水，同时回家又最近？分析：把这一生活问题数学化，设小明与小狗在A处，家在B处，小河为L，小明要在直线L上找一个点P（小狗在P处饮水），使得AP+BP最短。（如图所示）设L上的P点为小狗饮水处，这个问题就转化成求AP+BP的最小值，也就是数学中的最值问题。如图，我们作点A关于L的对称点A/，连结A/B交L于点P，则点P即为所求。　　知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，解决了最值问题，最终便可以得出

7、结果。此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等。　　2.利用菱形的对称性进行转化　　例：在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为多少？　　分析：利用“两点之间，线段最短”5来做，要求出EF+BF的最小值其实就是要把这两条线段转化在一条直线上。刚好由于菱形对角连线两边对称，所以线段AB的中点E和线段AD的中点M关于线段AC对称即MF=EF。连接BM交AC于点F，线段MB即为MF

8、+FB的最小值。　　解：取线段AD的中点M，连接BM　　∵四边形ABCD是菱形　　∴AB=AD　　又∵∠DAB=60°　　∴ABD是等边三角形　　又∵点M为AD的中点　　∴ABM为直角三角形　　又∵点E和点M关于AC对称　　∴MF=EF，EF+BF=MF+BF　　在Rt△ABM中，MB=AB×sin60o=6×■=3■　　∴EF+FB的最小值等于MB的长度，是3■。　　三