例谈构造三边关系求线段最值

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1、例谈构造“三边关系”求线段最值430223湖北省武汉市光谷实验中学吴国庆430078湖北省武汉市新桥学校李景财（联系电话：13377858741地址：武汉市光谷实验中学投稿日期：2013.11.3）如图1，AB=a，BC=b（a＞b），则AC≤AB+BC=a+b(当A﹑B﹑C共线如图2时取等号)，AC≥AB-BC=a-b((当A﹑B﹑C共线如图3时取等号)，图1图2图3在解题中，我们巧妙构造，利用这一个关系，可以探求线段的最值，举例如下：例1：（2013年武汉市中考题）如图4，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF。连接CF交BD于点G

2、。连接BE交AG于点H。若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是____________.图4图5解析：取AB中点O，连接HO，OD∵AB=CD，∠BAD=∠CDA，AE=DF∴△ABE≌△DCF∴∠ABE=∠DCF又∵DC=AD，∠CDG=∠ADG,DG=DG∴△CDG≌△ADG∴∠DCG=∠DAG∴∠ABE=∠DAG又∵∠BAE=90∴∠AHB=90∵AB中点O，正方形的边长为2∴OH=1，OD=由三边关系知DH≥DO-HO即DH≥-1∴DH的最小值为-1评析：本题在2013年武汉中考中学生通过率非常低，其关键要分析出动态中的不变（∠AHB=90）

3、，通过取AB中点O，巧妙将DH放在三边中（HO，DO已知），用三边关系，问题迎刃而解。例2：如图5，在⊙O中，AB为直径，且AB=2，弧BC为圆的，D为弧BC的中点，F为直径AB上的一个动点，则FC+FD的最小值为____________.解析：作点D关于AB对称点E，由圆的对称性知E在圆上，连OC，OD，OE，FE，EC∵弧BC为圆的，D为弧BC的中点∴∠BOC=60，∠BOD=∠BOE=30，∠EOC=90由圆的对称性FC+FD=FC+FE，由三边关系FC+FE≥EC=即FC+FD的最小值为。评析：利用圆的对称性，将FD转化到FE，从而FC+FD转化到

4、FC+FE，又EC为定长，由三边关系问题得解。例3：如图6，△ABC中，∠ACB=900，AC=4，BC=2，当点A在x轴上运动时，C点也在y轴上随之运动，求OB的最大值。图6图7解析：取AC中点E，连接BE，OE，由条件知OE=AC=2，BE=2由三边关系知：OB≤OE+BE=2+2，即OB的最大值为2+2评析：通过中点将动线段OB与定长线段OE﹑EB构成三边关系。例4：如图7，PA=2，PB=4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，求PD的最大值解析：将△DAP绕点A顺时针旋转90得△BAE，可得PD=BE,又PE=2，由三边关系知B

5、E≤PE+PB=4+2，即PD的最大值为4+2评析：本问题巧妙通过旋转，将PD转化为EB，从而EB与定长线段PE，PB构成三边关系，问题得解。例5：如图8，已知直线a∥b,且a,b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=，直线a上有一点M，直线b上有一点N，且MN⊥a,求AM+NB的最小值图8图9解析：过点A作AD∥MN，过点B作BD∥a，AD和BD交于点D，过点N作NC∥AM，交AD于C，连接BC∴AMNC为平行四边形，AC=MN=4，NC=AM由条件知AD=9，BD=，DC=5，BC=8由三边关系知：CN+NB≥BC，∴A

6、M+NB的最小值为8评析：本题通过平移，将AM转化到CN，从而AM+NB转化到三边关系（BC为定长）。例6：如图9，△ABC中，∠ABC=90,AB=6,BC=8,O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE﹑OF分别交射线AB﹑BC于E﹑F，则EF的最小值为___________.解析：取EF的中点P，连接PB，PO由∠ABC=90，∠EOF=90，∴PB=PO=PE=PF,即E﹑B﹑F﹑O四点共圆，又BO=AC=5,由三边关系知PB+PO≥BO，即EF≥BO∴EF的最小值为5.评析：利用四点共圆，将直径FE转化到两个半径PB+PO，从而转化到三边关系（BO为

7、定长）