高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8_6 空间向量及其运算课件 理 新人教版

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1、§8.6空间向量及其运算基础知识　自主学习课时作业题型分类　深度剖析内容索引基础知识　自主学习1.空间向量的有关概念知识梳理名称概念表示零向量模为的向量0单位向量长度(模)为的向量相等向量方向且模的向量a＝b相反向量方向且模的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量a∥b共面向量平行于同一个的向量01相等相同相反相等平行或重合平面2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝，其中x，y∈R，a，b为不共线向量.(3)空间向量基本定理如果三个

2、向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝，{a，b，c}叫做空间的一个基底.xa＋ybxa＋yb＋zc3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作，其范围是,若〈a，b〉＝，则称a与b，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则叫做向量a，b的数量积，记作，即a·b＝.〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉a·b

7、a

8、

9、b

10、cos〈a，b〉(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝；

11、②交换律：a·b＝；③分配律：a·(b＋c)＝.4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).λ(a·b)b·aa·b＋a·c向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)模

12、a

13、夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝01.向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.2.向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：＝x

14、＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点.知识拓展几何画板展示几何画板展示判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面.()(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).()(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()思考辨析√√×××1.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为考点自测答案解析则

15、a

16、＝

17、b

18、＝

19、c

20、＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.2.(2016·大连模拟)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,

21、4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是A.a∥b，a∥cB.a∥b，a⊥cC.a∥c，a⊥bD.以上都不对答案解析因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，所以a∥c.又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.故选C.3.与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是______________________________________.答案解析因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5).答案解析5.(教材改编)正四面体ABCD的棱长

22、为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.答案解析＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，题型分类　深度剖析题型一　空间向量的线性运算例1(1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.答案解析解答思维升华用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.跟踪训练1(2016·青岛模拟)如图所示

23、，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：解答因为P是C1D1的中点，解答因为M是AA1的中点，题型二　共线定理、共面定理的应用例2(2016·天津模拟)如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：E，F，G，H四点共面；证明连接BG，由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面.