几何概型概率的研究

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1、几何概型概率的研究　　几何概型是普通高中课程人教版必修3的内容，是继古典概型之后的一个新的概率模型，是新课标新增加的内容.它把古典概型的样本空间从有限个扩充到无限个，是对连续型随机变量的概率求法进行的研究.初学时，很多考生往往无法正确识别几何概型的特点，对这一部分内容的学习有种似懂非懂的感觉，导致在遇到此类问题的时候，往往生搬硬套，特别是几何概型类的应用题或者综合问题时，更是无从下手.其实，只要能够准确掌握几何概型的概念本质，熟练运用数形结合的思想方法，几何概型问题是可以突破的.　　一、准确把握概念本质，分清概率模型　　

2、几何概型的概念如下：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：　　P（A）=　　.10　　此概念包含两层重要含义，一是几何概型中基本事件是构成该事件的区域中的元素，是有无限多个的，这是几何概型和古典概型最本质的区别；二是几何概型中事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例说明区域中的元素是均匀分布的，即基本事件的出现是等可能的.只有准确把握这两个特性，方可把几何概型学好.让我们从以下例题来一

3、起分析吧.　　例1.（2013年广东省华附、省实、深中、广雅四校高三上学期期末联考）设不等式组0≤x≤6，0≤y≤6表示的区域为P，不等式组0≤x≤6，x-2y≥0表示的区域为Q.　　（1）在区域P中任取一点（x，y），求点（x，y）∈Q的概率；　　（2）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x，y）∈Q的概率.　　【解析】（1）这是一个几何概型，根据题意，试验的全部结果构成的区域为平面区域P，如图中正方形OABC所示，面积为6×6=36，平面区域Q如图中三角形OAD，面积为×6×3=9，所以满足点（x

4、，y）∈Q的概率P==.　　（2）这是一个古典概型，基本事件数为36，其中满足（x，y）∈Q的基本事件数有9个，　　所以满足点（x，y）∈Q的概率P==.　　【点评】本题主要考查古典概型、几何概型、平面区域等知识点，考查数形结合的思想方法，考查考生作图能力和运算求解能力.要求考生能够准确分清概率模型，会根据二元一次不等式组画出平面区域，从而根据概率公式求出相应的概率.判断概率模型是关键，判断一个概率是古典概型还是几何概型，主要看基本事件的个数是有限个还是无限个.本题的两问虽然提问的问题一样，但是第（1）问中“在区域P中任

5、取一点（x，y）”说明了基本事件（a，b）是区域P中的点，有无限个，应该用几何概型解决.而第（2）问虽然问题“点（x，y）∈Q”10是一个几何范畴，但是基本事件要求“x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，”说明了基本事件（a，b）是有限个，故应该用古典概型来完成.这个例子告诉我们与几何有关的概率并不都是几何概型，而是应该根据概率的特征去辨别概率模型，作出正确的判断.　　二、熟练运用思想方法，解决各种题型　　如果把数学知识比作沙子、水泥和钢筋，那么水便是思想和方法了.只有经过思想方法充分“搅拌”的知识，才是具有再

6、生功能的知识.几何概型概率问题中常常涉及的是数形结合的思想方法，只要我们能够在几何概型的计算中熟练运用数形结合的思想方法，几何概型的学习就变得有规律可循了.下面把几何概型的常见题型进行归纳，供各位同学参考.　　2.1长度问题.　　与长度有关的几何概型是最基础的问题，线段上取点和区间上取值是常见类型，这一类问题常常结合不等式、平面几何等知识点进行考查.　　例2.（2013年高考山东卷）在区间[-3，3]上随机取一个数x，使得│x+1│-│x-2│≥1成立的概率为______.　　【解析】画出数轴，求出不等式的解集为[1，+

7、∞），不难求得概率P==.　　【点评】本题是与长度有关的几何概型问题，结合绝对值不等式和区间长度考查数形结合的思想，是高考中的常见题型，属基础题型.解题时关注数与形的转化及几何概型概率公式的应用，即把区间问题转化为数轴中的线段.　　2.2面积问题.10　　与面积有关的几何概型问题是最常考的内容之一，与平面几何知识相结合是基本题型，它还常与平面区域、定积分等知识相结合，在知识的交汇处形成问题，命出很多综合问题，值得我们关注.　　例3.（2013年广二模节选）已知正方形ABCD的边长为2，E，F，G，H分别是边AB、BC、C

8、D、DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足│PH│<的概率.　　【解析】点P构成的平面区域是正方形ABCD的内部，其面积是2×2=4.满足│PH│<的点P构成的平面区域是以H为圆心，为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分，它可以看作是由一个以H为圆心、为半径、圆心角为的扇形HEG的内部（即四分之