几何概型的概率及其求解策略

《几何概型的概率及其求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、几何概型的概率及其求解策略安徽省宿州市第二小学柏长胜一、定义：（08年北师大版P155）向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M,若点M落在子区域G

2、UG的概率与G的面积成正比，而与G的形状、位置无关,即尸（点潞在内5则称这种模型为儿何槪型。儿何槪型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比。二、儿何概型的特点是：（1）无限性：在每次试验中，可能的出现的结果有无穷多个,即基木事件有无限多个；（2）等可能性：在每次试验中，每个结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.三.几何概率的基本性质(1)0

3、可加性：设Ai,A2,…人小是n个两两互斥的事件，则有P（Ai+A2+-+An）=P（A］）+P(A2)+・・・+P(An);⑷互补性：P（A）=1-P（A）.用儿何概型概率公式计算概率问题时，关键是构造出随机事件所对应的儿何图形，并对儿何图形进行相应的儿何度量。对于一些简单的儿何概型问题，可以快捷地找到解决办法。四、例题详解例1、公交车每隔10分钟来一辆。假定乘客在接连两辆弔Z间的任何时刻随机地到达午站，试求乘客候车时间不超过3分钟的概率。解：从前一辆开出起计算时间，乘客到达布站的时刻t可以是［0,5）中的任何一点，即G={tI0

4、归结为儿何槪型，设A表示“乘客候车不超过3分钟”事件，则q={t丨0WtW3}P（A）=黑=命（其中m（G）是样本空间的度量，m（Gj是构成事件A的子区域的度量）例2、（会而问题）甲、乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会而.先到的人等候另一个人，经过时间t（t

5、y）丨OWxWT,OWyWT,丨x-y丨Wt}（图中的阴影部分）,T2-(T-t)2T2=l-d-y)2-点评：例1和例2题「

6、的意思简单明了，但如何转化为数学模型来求解却比较困难，需要我们先从实际问题屮分析得到儿何槪型，并适当地引入变量例1引入一个变量，例2引入两个变量。然后把变量满足的条件写出集合形式，并把所研究事件A的集合也分析得出。把变量集合川区间长度（例1）或区域面积（例2）表示，特别注意二元一次不等式所表示的区域。要表示y>ax+b的平面区域，按两步解决：（1）作出直线y=ax+b；（2）取直线y=ax+b上方部分区域（若yvax+b就取直线y=ax+hY方部分区域）。准确得到随

7、机事件的构成区域后，根据儿何槪型的概率公式，容易求得概率。根据以上的解法和分析，可以总结得到求解几何槪型的概率问题的以下五步：1、选择适当的观察角度（从等町能性的角度观察）；2、引入变量，通常情况下一个变量对应为区间长度，两个变量对应为区域血积,三个变量对应为空间体积。3、集合表示，川相应的集合分别表示出试验的全部结果G和事件A所包含的试验结果，一般来说，两个集合都是一元二次不等式的交集。4、作出区域，并分别求出两个区域的测度。5、计算求解，代入公式二构成事件喲区域长度（面积或体积））一试验的全部结果所构成的区域长度（而积或体积）°例3、如右图所示，在ABC中，=60°,ZC=45°,高=右

8、。在ABAC内作射线AM交BCTM点，求BM<1的概率。误解：在RtADB>FURtADC中，AD=^3,ZB=60°,ZC=45°1_V3-1H2RD・•.P(BM<1)=P(BM

9、落在ABAD内｝在心ADBWRtADC中，AD=也,ZB=60°,ZC=45°ZB/1C=75°,ZBAD=30°30°【思维拓展】例4、某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机,想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析：收咅机每小时报时一次，某人午觉醒来的时刻在两次整点报时Z间都是等可能的，且醒来的时刻有无限多个的，因而适合几何概型。设A=｛等待的时间不多于10分钟｝•事件A恰好是打开收咅机的时