抽象函数的常见题型及解题策略

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1、抽象函数的常见题型及解题策略江苏徐州市第二中学张先云在中学数学中有很多函数是以列表、图象及解析式等具休形式出现的,也有一类函数只是给出函数所具有的某些性质和运算法则，既没有列表和图象,乂没有具体的函数解析式，比较抽象，给人一种无从下手的感觉，我们把这种函数称为抽象函数。抽象函数的概念抽象、构思新颖、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高，因此它是中学数学函数部分的难点。抽象函数常常集函数性质、图象、定义域与值域等问题于一身，既能考查函数的概念及性质，乂能考查学生的思维能力。由于抽象函数的解析式隐含不露，表面高度抽象，使得解决此类问

2、题时往往很棘手。其实，抽象函数并不是我们想象的那样困难，它必定脱胎于中学数学中常见的具体初等函数。我们只要根据题设给出的特征式，结合中学常见的初等函数，必然能发现熟悉的印记。因此在解决这类问题时，只要我们认真分析，善于联想，能根据所给条件，通过类比、观察、猜想出它是由哪一种基木函数抽象而来的，再根据这种模型函数的相关性质来预测，猜想出抽象函数可能具备的性质及结论，变抽象为具体、变陌生为熟知。处理这类以基木函数为模型抽象函数的常用解法有：赋值、代换、定义、图象等。特别指出，研究抽象函数的两大法宝就是适当地赋值和代换。在近几年

3、的高考试题中不断地出现，已经成为高考的热点问题，又由于问题木身的抽象性和它性质的隐蔽性，不少同学感到束手无策。一、求定义域问题例1若函数y二f(x)的定义域是[一2,2],则函数y二f(x+1)+f(x—1)的定义域为()o解析：因为x+l和相当于f(x)中的x,所以变式:已知函数f(x・l)的定义域是卜1,1],求函数f[x+l]的定义域？解析：，因为函数的定义域是指函数的自变量x而言的，所以，函数f(x・l)的定义域是卜1,1]是指：•由于x

4、•求抽象函数的定义域问题，实际上就是以函数的定义为背景•这类问题只要紧紧抓住两点：(1).函数的定义域是指函数自变量x的取值范围；(2).复合函数的特点：即将函数f[g(x)]中的g(x)看作f(x)中的x这一特性.二、求值域问题例2若函数y=f(x+l)的值域为[-1,1],求函数y=f(3x+2)的值域。解析：函数y=f(3x+2)中定义域与对应法则与函数y=f(x+l)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1,1]o评注：解决抽象函数的值域问题一一定义域、对应法则决定。三、周期性与求值问题

5、O2.抽象函数周期性一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。三个常见结论：若a,b是非零常数，Ha≠b,则有四、奇偶性问题一般地，如果对于函数定义域内的任意一个X,都有或，则称为这一定义域内的奇函数或偶函数。奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。例5⑴已知函数f(x)对于任意实数x、y满足f(x+y)=f(x)+f(y)7判断f(x)的奇偶性。(2)已知函数f(x)对于任意

6、实数x、y满足f(xy)=f(x)+f(y),判断f(x)的奇偶性。(3)已知函数f(x)对于任意实数x、y满足f(x/y)二f(x)・f(y),判断f(x)的奇偶性。(4)已知函数f(x)对于任意实数x、y满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),(f(0)≠0)?判断f(x)的奇偶性。解析：(1)令y=・x,则f(0)二f(x)+f(・x);再令y=x=O,得f(0)=0；即O=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x)o∴f(x)是奇函数。(2)令y二得f(-x)=f(x)+f(-l)

7、,Xf(-l)=O,即f(・x)二f(x)。∴f(x)是偶函数.⑶令得f(-x)=f(x)-f(-l)zXf(-l)=Oz8Pf(-x)=f(x)o∴f(x)是偶函数.⑷令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),再令x二y二0,可得f(0)=l,∴f(x)是偶函数.评注：这是对函数性质的考查，解决此类问题时,只要根据奇偶函数的定义，抓住f(x)与f(・x)的关系，通过已知条件中的等式进行变量赋值(因X、y是任意实数)，就不难解决。练习：若对于一切实数X"函数都满足f(x

8、,y)=f(x)f(y),iS判断f(x)的奇偶性。五、对称性问题例6定义在实数集上的函数f(x),对一切实数x都有f(x+l)二f(2・x)成立,若f(x)二0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为()六、单调性问题一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两