抽象函数常见题型解法

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1、抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f

2、(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或]指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y)[对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y)[正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanx余切函数f(x)=cotx目录：一、定义域问题二、求值问题三、值域问题四、解析式问题五、单调性问题六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题八、综合问题一、定义域问题--------多为

3、简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y=f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x－1）的定义域为。解：f(x)的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中。评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是，求函数的定义域。例2：已知函数的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。评析：已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

4、怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;练习：1.f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则（）2.。20003、对任意整数函数满足：，若，则CA.-1B.1C.19D.434、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（B）A.2005B.2C.1D.0解析：先令三、值域问题（单调性，奇偶性，周期性）例1.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)

5、=1。若f(0)=0，则f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故f(0)≠0，必有f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此，,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.例2、定义在R+上的函数f(x)满足:①对任意实数m,f(xm)=mf(x);②f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立;(2)证明f(x)是R+上的单调增函数;(3)若f(x)+f(

6、x-3)≤2,求x的取值范围.解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n为实数,则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)故f(x1)

7、(1)；(2)证明：f(x)在定义域上是增函数；(3)如果f()＝－1，求满足不等式f(x)－f()≥2的x的取值范围．【解析】(1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.(2)证明令y＝，得f(1)＝f(x)＋f()＝0，故f()＝－f(x)，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f()＝f()．由于＞1，故f()＞0，从而f(x2)＞f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由于f()＝－1，而f()＝－f(3)，故f(3)＝1.在f(x·y)＝f(x)

8、＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.又－f()＝f(x－2)，故所给不等式可化为f(x)＋f(x－2)≥f(9)，即f[x(x－2)]≥f(9)．∴解得x≥1＋.∴x的取值范围是[1＋，＋∞)．例4、已知函数f(x)对于任意x，y∈R