例谈求动点的轨迹方程

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1、例谈求动点的轨迹方程　　求动点的轨迹方程问题在高中人教A版教科书中必修2第四章第一节及选修2-1第二章第一节中出现，其中选修2-1第二章第一节还给出了求动点的轨迹方程的一般步骤.　　求动点的轨迹方程是高考解析几何题目中常常出现的问题之一，而它是高中数学教学中的一个难点，学生对动点的轨迹方程的理解及动点的轨迹方程的求法都存在困难.本文将列举近三年高考中常出现的题型及解题方法，供读者参考.　　一、代入法　　代入法分为直接代入法和间接代入法两种.在解析几何中，代入法就是要求哪个动点的轨迹方程，就设哪个动点的坐标为（x，y），然后根据动点的坐标（x，y）与已知条件

2、的关系列出动点的轨迹方程.　　综观近几年的高考题，利用代入法求动点的轨迹方程是高考中常出现的题型，因此让学生理解并学会运用代入法显得尤为重要.　　1.一般来说，所研究的动点与题目所给的方程或等量关系有直接的联系，用直接代入法　　直接代入法的步骤可简单归结为五个：建系；设点；列等式；代入；化简.　　【例1】（2012，四川，理）如图1，动点M到两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠6MAB，设动点M的轨迹为C.求轨迹C的方程.　　分析：题目要求轨迹C的方程，给出的等量关系是∠MBA=2∠MAB.根据点的坐标及给出角的等量关系，我们可

3、以利用两点斜率公式求出∠MAB和∠MBA的正切值，然后再根据二倍角公式将两角的正切值联系起来，得到所要求的轨迹方程.　　解析：设轨迹C上任意一点M的坐标为（x，y），显然有x>0，y≠0.　　图1当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）；　　当∠MBA≠90°时，x≠2，　　由∠MBA=2∠MAB，　　有tan∠MBA=2tan∠MAB11-tan2∠MAB，　　即-

4、y

5、1x-2=2y1x+111-（

6、y

7、1x+1）2，　　化简得3x2-y2-3=0，方程经过点（2，±3）.　　综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）.　　评析：（1

8、）根据M、A、B三点构成三角形可得y≠0，由∠MBA=2∠MAB可得x>0；　　（2）当∠MBA=90°时，正切值不存在，而题中∠MBA有可能为90°，因此要分情况讨论；　　（3）由于最后得到轨迹C的方程是双曲线方程，又因为由题设知x>0，所以可以进一步得到x的范围为x>1.　　2.若所研究的动点与所给的方程或等量关系没有直接联系，可以通过找出既与所给方程或等量关系有直接联系，又与所研究的动点有关系的辅助动点.6　　如辅助动点Q的坐标可用所研究的动点P的坐标表示，而又找到辅助动点Q的坐标与所给方程或等量关系的联系，那我们只要将点Q的坐标用点P的坐标表示，再

9、将其代入等式即可.这种方法就是间接代入法.　　【例2】（2012，湖北，理）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足

10、DM

11、=m

12、DA

13、（m>0，m≠1）.当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.　　分析：题中所求为动点M的轨迹方程，选取的辅助动点应为点A，它是所给单位圆x2+y2=1上任意一点M，与所求动点存在着这样的关系：

14、DM

15、=m

16、DA

17、（m>0，m≠1）.　　解析：如图2-1，设M（x，y），A（x0，y0），则D

18、（x0，0），由

19、DM

20、=m

21、DA

22、（m>0，m≠1），可得x=x0，

23、y

24、=m

25、y0

26、，所以x0=x，

27、y0

28、=11m

29、y

30、①，　　因为点A在单位圆上运动，所以x20+y20=1②，　　将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2+y21m2=1（m>0，m≠1），　　因为m∈（0，1）∪（1，+∞），所以当01时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（0，-m2-1），（0，m2-1）.　　图2-1图2-2（01）　　评析：根据题目所给的m的

31、范围，对曲线C为何种曲线进行分类讨论.6　　【例3】（2013，辽宁，理）如图3，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p>0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C0的切线，切点为A、B（M为原点O时，A、B重合于O）.当x0=1-2时，切线MA的斜率为-112.　　图3（1）求p的值；　　（2）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A、B重合于O时，中点为O）.　　分析：（1）利用已知条件“当x0=1-2时，切线MA的斜率为-112”及导数的几何意义，求出当x0=1-2时，A点坐标及切线MA的方程，从而求得y0的取值及p的值.　

32、　（2）分别设N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2